역행렬 조건 행렬

[출제의도] 역행렬의 정의를 이용하여 행렬의 성분의 값을 구한다. 조건 (가)에서 $( A + E ) ( A + 2 E ) = E$ $A ^{2} + 3 A + E = O$ $A ( A + 3 E ) = - E$ 조건 (나)에서 $\displaystyle ( A + 3 E ) {\begin{pmatrix} 1 \\ - 3 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} - 1 \\ 2 \end{pmatrix}}$ $\displaystyle A {\begin{pmatrix} 1 \\ - 3 \end{pmatrix}} + 3 E {\begin{pmatrix} 1 \\ - 3 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} - 1 \\ 2 \end{pmatrix}}$ $\displaystyle A {\begin{pmatrix} 1 \\ - 3 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} - 1 \\ 2 \end{pmatrix}} - 3 E {\begin{pmatrix} 1 \\ - 3 \end{pmatrix}}$ $\displaystyle = {\begin{pmatrix} - 1 \\ 2 \end{pmatrix}} - {\begin{pmatrix} 3 \\ - 9 \end{pmatrix}}$$\displaystyle = {\begin{pmatrix} - 4 \\ 11 \end{pmatrix}}$ $\cdots$ ㉠ 조건 (나)의 양변의 왼쪽에 $A$를 곱하면 $\displaystyle A ( A + 3 E ) {\begin{pmatrix} 1 \\ - 3 \end{pmatrix}} = A {\begin{pmatrix} - 1 \\ 2 \end{pmatrix}}$ $\displaystyle A {\begin{pmatrix} - 1 \\ 2 \end{pmatrix}} = - E {\begin{pmatrix} 1 \\ - 3 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} - 1 \\ 3 \end{pmatrix}}$ $\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle A {\begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} - 4 & - 1 \\ 11 & 3 \end{pmatrix}}$ $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} - 4 & - 1 \\ 11 & 3 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{pmatrix}} ^{- 1}$ $\displaystyle = {\begin{pmatrix} - 4 & - 1 \\ 11 & 3 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} - 2 & - 1 \\ - 3 & - 1 \end{pmatrix}}$ $\displaystyle = {\begin{pmatrix} 8 + 3 & 4 + 1 \\ - 22 - 9 & - 11 - 3 \end{pmatrix}}$ $\displaystyle = {\begin{pmatrix} 11 & 5 \\ - 31 & - 14 \end{pmatrix}}$ $\therefore$$a = 11$, $d = - 14$이므로 $a ^{2} + d ^{2} = 11 ^{2} + \left( - 14 \right) ^{2}$$= 121 + 196 = 317$