공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

역행렬 행렬 합

문제

역행렬이 존재하는 두 이차정사각행렬 AA, BB가 다음 조건을 만족시킨다. (가) B=A−1BAB = A ^{-1} BA (나) 두 행렬 AA, BB의 모든 성분의 합은 각각 11, 88이다.

행렬 XnX _{n}을 XnX _{n}=(A−1)nBAn+BnA(B−1)n= ( A ^{-1} ) ^{n} BA ^{n} + B ^{n} A ( B ^{-1} ) ^{n} (n=1n = 1, 22, 33, ⋯ ) 이라 할 때, 행렬 X1+X2+X3+⋯+X10X _{1} + X _{2} + X _{3} + \cdots + X _{10}의 모든 성분의 합을 구하시오. [4점]

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해설

조건 (가)에 의하여 B=A−1BAB = A ^{-1} BA 위 식의 양변의 왼쪽에 행렬 AA를 곱하여 정리하면 AB=BAAB = BA ∴ BAnBA ^{n}=BAAn−1= BA A ^{n-1}=ABAn−1= ABA ^{n-1} =ABAAn−1= ABA A ^{n-1}=A2BAn−2= A ^{2} B A ^{n-2} == ⋯ =An−1BA= A ^{n-1} BA=AnB= A ^{n} B 마찬가지 방법으로 BnAB ^{n} A=ABn= AB ^{n} ∴ XnX _{n}=(A−1)nBAn+BnA(B−1)n= ( A ^{-1} ) ^{n} BA ^{n} + B ^{n} A ( B ^{-1} ) ^{n} =(A−1)nAnB+ABn(B−1)n= ( A ^{-1} ) ^{n} A ^{n} B + AB ^{n} ( B ^{-1} ) ^{n} =B+A= B + A 조건 (나)에 의하여 행렬 XnX _{n}의 모든 성분의 합은 1+8=91 + 8 = 9이다. ∴ X1+X2+X3+⋯+X10X _{1} + X _{2} + X _{3} + \cdots + X _{10}=9×10=90= 9 \times 1 0 = 90

태그

#역행렬#행렬의 거듭제곱

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