공통수학1행렬과 그 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

역행렬 관계식 보기

문제

역행렬이 존재하는 두 이차정사각행렬 A,BA , B가 A2+AB=B−1A ^{2} + AB = B ^{-1}, B2+BA=A−1B ^{2} + BA = A ^{-1}를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, A−1A ^{-1}는 AA의 역행렬이다.) [4점]

<보 기>
ㄱ. AB=BAAB = BA ㄴ. (AB)−1=A−B( AB ) ^{-1} = A - B ㄷ. (A+B)−1(A−1+B−1)=A+B( A + B ) ^{-1} ( A ^{-1} + B ^{-1} ) = A + B

①ㄴ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
④

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해설

[출제의도] 행렬의 곱셈에 대한 성질과 역행렬의 성질을 알고 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. A2+AB=B−1A ^{2} + AB = B ^{-1}에서 A2B+AB2=EA ^{2} B + AB ^{2} = E … ㉠ B2+BA=A−1B ^{2} + BA = A ^{-1}에서 AB2+ABA=EAB ^{2} + ABA = E … ㉡ ㉠, ㉡에서 A2B=ABAA ^{2} B = ABA ∴AB=BA\therefore AB = BA (참) ㄴ. ㉡에서 AB(A+B)=EAB ( A + B ) = E ∴(AB)−1=A+B\therefore ( AB ) ^{-1} = A + B (거짓) ㄷ. (A+B)−1=AB( A + B ) ^{-1} = AB이므로 (A+B)−1(A−1+B−1)( A + B ) ^{-1} ( A ^{-1} + B ^{-1} ) =AB(A−1+B−1)= AB ( A ^{-1} + B ^{-1} ) =ABA−1+ABB−1=B+A= ABA ^{-1} + ABB ^{-1} = B + A(참)

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