공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

역행렬 관계 거듭제곱 합

문제

이차정사각행렬 AA 에 대하여 A=A−1−EA = A ^{- 1} - E 가 성립할 때, A5+A4+A3+A2+A+E=pA+qEA ^{5} + A ^{4} + A ^{3} + A ^{2} + A + E = pA + qE 를 만족하는 두 실수 p,qp , q 의 합 p+qp + q 는? (단, EE 는 단위행렬, A−1A ^{- 1} 는 AA 의 역행렬) [3점] ①11②22③33④44⑤55

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해설

[출제의도] 행렬의 성질을 이용하여 행렬의 거듭제곱 계산하기 A=A−1−EA = A ^{- 1} - E 양변에 AA를 곱하면 A2=E−AA ^{2} = E - A 즉 A2+A=EA ^{2} + A = E A5+A4+A3+A2+A+EA ^{5} + A ^{4} + A ^{3} + A ^{2} + A + E =A3(A2+A)+A(A2+A)+A+E= A ^{3} ( A ^{2} + A ) + A ( A ^{2} + A ) + A + E =A3+2A+E= A ^{3} + 2 A + E =(2A−E)+2A+E= ( 2 A - E ) + 2 A + E (∵ A3=2A−EA ^{3} = 2 A - E ) =4A= 4 A =pA+qE= pA + qE ∴p=4q=0\therefore p = 4 q = 0 p+q=4p + q = 4

태그

#역행렬#행렬의 거듭제곱

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