공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

역행렬 곱의 합

문제

역행렬이 존재하는 두 이차정사각행렬 AA, BB에 대하여 A(3547)=B\displaystyle A \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 7 \end{pmatrix} = B 가 성립할 때, 행렬 A−1B+B−1AA ^{- 1} B + B ^{- 1} A의 모든 성분의 합을 구하시오. [3점]

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해설

[출제의도] 역행렬의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. A(3547)=B\displaystyle A \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 7 \end{pmatrix} = B 의 양변에 A−1A ^{- 1}을 곱하면 E(3547)=A−1B\displaystyle E \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 7 \end{pmatrix} = A ^{- 1} B ∴ A−1B=(3547)\displaystyle A ^{- 1} B = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 7 \end{pmatrix} A(3547)=B\displaystyle A \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 7 \end{pmatrix} = B 의 양변에 B−1B ^{- 1}을 곱하면 B−1A(3547)=B−1B\displaystyle B ^{- 1} A \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 7 \end{pmatrix} = B ^{- 1} B ∴ B−1AB ^{- 1} A=(3547)−1\displaystyle = {\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 7 \end{pmatrix}} ^{- 1}=(7−5−43)\displaystyle = \begin{pmatrix} 7 & - 5 \\ - 4 & 3 \end{pmatrix} ∴ A−1B+B−1A=(3547)+(7−5−43)=(100010)\displaystyle A ^{- 1} B + B ^{- 1} A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 7 & - 5 \\ - 4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 10 \end{pmatrix} 따라서 구하는 모든 성분의 합은 2020이다.

태그

#역행렬

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