공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

역행렬 거듭제곱 성분 합

문제

이차정사각행렬 AA가 A2=(1002)\displaystyle A ^{2} = {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}}를 만족시킬 때, 행렬 16(A−1)816 \left( A ^{- 1} \right) ^{8}의 모든 성분의 합을 구하시오. (단, A−1A ^{-1}는 AA의 역행렬이다.) [3점]

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해설

[출제의도] 행렬의 거듭제곱과 역행렬을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. A4=(1004)\displaystyle A ^{4} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}, A8=(10016)\displaystyle A ^{8} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 16 \end{pmatrix} (A−1)8=(A8)−1=(10016)−1=116(16001)\displaystyle ( A ^{-1} ) ^{8} = ( A ^{8} ) ^{-1} = {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 16 \end{pmatrix}} ^{- 1} = \frac{1}{16} \begin{pmatrix} 16 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}이므로 행렬 16(A−1)816 ( A ^{-1} ) ^{8}의 모든 성분의 합은 1717이다.

태그

#역행렬#행렬 거듭제곱

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