공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

역행렬 가진 행렬 보기

문제

역행렬을 가지는 두 이차정사각행렬 A,BA , B에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, EE는 단위행렬 이다.) [4점]

<보기>
ㄱ. ABA=EABA = E이면 AB=BAAB = BA이다. ㄴ. A−1+B−1=EA ^{- 1} + B ^{- 1} = E이면 AB=BAAB = BA이다. ㄷ. AB=BAAB = BA이면 A−1(B+B−1)A=B+B−1A ^{-1} ( B + B ^{-1} ) A = B + B ^{-1}이다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

[출제의도] 행렬의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. ABA=EABA = E이면 ABAB와 AA는 역행렬 관계이다. (AB)A=A(AB)=A2B( AB ) A = A ( AB ) = A ^{2} B이므로 A−1(ABA)=A−1(A2B)∴BA=ABA ^{- 1} ( ABA ) = A ^{- 1} ( A ^{2} B ) \therefore BA = AB (참) ㄴ. A−1+B−1=EA ^{- 1} + B ^{- 1} = E이면 A+B=ABA + B = AB이므로 AB−A−B=O,(A−E)(B−E)=EAB - A - B = O , ( A - E ) ( B - E ) = E이다. A−EA - E와 B−EB - E는 서로 역행렬 관계이므로 (A−E)(B−E)=(B−E)(A−E)( A - E ) ( B - E ) = ( B - E ) ( A - E ) (참) ㄷ. AB=BAAB = BA이면 B−1A−1=A−1B−1B ^{- 1} A ^{- 1} = A ^{- 1} B ^{- 1}이므로 A−1(B+B−1)A=A−1BA+A−1B−1AA ^{- 1} ( B + B ^{- 1} ) A = A ^{- 1} BA + A ^{- 1} B ^{- 1} A =A−1AB+B−1A−1A= A ^{- 1} AB + B ^{- 1} A ^{- 1} A=B+B−1= B + B ^{- 1} (참)

태그

#역행렬#교환법칙#보기

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