공통수학1행렬과 그 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

역행렬 부존재 도형 길이

문제

행렬 (19−a273b)\displaystyle {\begin{pmatrix} 1 & 9 ^{- a} \\ 27 & 3 ^{b} \end{pmatrix}}의 역행렬이 존재하지 않도록 음이 아닌 두 실수 aa, bb의 값을 정할 때, 점 (a,b)( a , b )가 나타내는 도형의 길이를 ll이라 하자. 4l24 l ^{2}의 값을 구하시오. [4점]

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45

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해설

[출제의도] 역행렬이 존재하지 않을 조건을 이용하여 도형의 길이를 구한다. 행렬 (19−a273b)\displaystyle {\begin{pmatrix} 1 & 9 ^{- a} \\ 27 & 3 ^{b} \end{pmatrix}}의 역행렬이 존재하지 않으므로 1⋅3b−9−a⋅27=01 \cdot 3 ^{b} - 9 ^{-a} \cdot 27 = 0 3b=3−2a+33 ^{b} = 3 ^{- 2 a + 3} ∴ b=−2a+3b = - 2 a + 3 a≥0a \geq 0, b≥0b \geq 0이므로 점 (a,b)( a , b )가 나타내는 도형의 길이는 직선 y=−2x+3y = - 2 x + 3이 xx축, yy축과 만나는 두 점 (32,0)\displaystyle \left( \frac{3}{2} , 0 \right), (0,3)( 0 , 3 )을 양 끝점으로 하는 선분의 길이와 같다.

따라서 구하는 값은 4l2=4(94+9)=45\displaystyle 4 l ^{2} = 4 \left( \frac{9}{4} + 9 \right) = 45

태그

#역행렬 부존재#지수

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