y축 대칭으로 거리의 차의 최댓값

점 $\mathrm{A} ( - 2 , 3 )$을 $y$축에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{C}$라 하면 $\mathrm{C} ( 2 , 3 )$ 점 $\mathrm{P}$가 $y$축 위의 점이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} = \overline{\mathrm{PC}}$ 따라서 $\displaystyle | \overline{\mathrm{PA}} - \overline{\mathrm{PB}} | = | \overline{\mathrm{PC}} - \overline{\mathrm{PB}} |$ 삼각부등식에 의하여 $\displaystyle | \overline{\mathrm{PC}} - \overline{\mathrm{PB}} | \leq \overline{\mathrm{BC}}$이고, 등호는 점 $\mathrm{P}$가 직선 $\mathrm{BC}$ 위에서 선분 $\mathrm{BC}$의 바깥쪽에 있을 때 성립한다. $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{( 4 - 2 ) ^{2} + ( 1 - 3 ) ^{2}} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ 두 점 $\mathrm{C} ( 2 , 3 )$, $\mathrm{B} ( 4 , 1 )$을 지나는 직선은 $y = - x + 5$이고, 이 직선은 $y$축과 점 $( 0 , 5 )$에서 만난다. 점 $( 0 , 5 )$는 선분 $\mathrm{BC}$의 바깥쪽에 있으므로 $\mathrm{P} ( 0 , 5 )$일 때 등호가 성립한다. 따라서 구하는 최댓값은 $\displaystyle 2 \sqrt{2}$이므로 답은 ③이다.