공통수학2명제수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

양수 집합의 성질 증명 빈칸

문제

집합 PP는 실수 전체의 집합의 부분집합으로서 다음 성질 (A)( A )와 (B)( B )를 갖는다.

(A)( A ) 임의의 실수 aa에 대하여 a∈P,a=0,−a∈Pa \in P , a = 0 , - a \in P 중 적어도 하나는 성립하지만, 두 가지 이상은 동시에 성립하지 않는다. (B)( B ) a∈Pa \in P이고 b∈Pb \in P이면 ab∈Pab \in P이다.

다음은 위의 성질을 이용하여 ‘a∈Pa \in P이면 1a∈P\displaystyle \frac{1}{a} \in P이다.’ 를 증명한 것이다.

[ 증 명 ]
　가정에서 a∈Pa \in P이므로 (A)( A )에 의해 a≠0a \neq 0이다. 따라서, 실수 1a\displaystyle \frac{1}{a}은 00이 아니므로 □(가)\square {\text{(가)}}에 의하여 1a∈P\displaystyle \frac{1}{a} \in P 또는 −1a∈P\displaystyle - \frac{1}{a} \in P이다. −1a∈P\displaystyle - \frac{1}{a} \in P인 경우에는 □(나)\square {\text{(나)}}와 가정에 의하여 −1=a×(−1a)∈P\displaystyle - 1 = a \times \left( - \frac{1}{a} \right) \in P이다. 그런데, −1∈P- 1 \in P라면 (B)( B )에 의하여 1=(−1)×(−1)∈P1 = ( - 1 ) \times ( - 1 ) \in P가 되어 □(다)\square {\text{(다)}}에 모순이다. 따라서, 1a∈P\displaystyle \frac{1}{a} \in P이다.

위의 증명 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대로 적으면? ①(A)( A ), (B)( B ), (A)( A )②(A)( A ), (B)( B ), (B)( B )③(B)( B ), (A)( A ), (A)( A )④(A)( A ), (A)( A ), (B)( B )⑤(B)( B ), (A)( A ), (B)( B )

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①

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해설

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#증명

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