확률과 통계확률분포수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

양궁 정규분포 기댓값

문제

어느 양궁 종목에서 사용하는 표적지는 원의 반지름의 길이가 각각 $\mathrm{4} cm , 8 cm , 12 cm ,$ $\cdots$ , $\mathrm{40} cm$ 로 $\mathrm{4} cm$ 씩 증가하는 $10$ 개의 동심원으로 되어 있다. 표적지의 중심에서 화살이 꽂힌 곳까지의 거리를 $X$ 라고 할 때 $0 \leq X \leq 4$ 이면 $10$ 점, $4 < X \leq 8$ 이면 $9$ 점, $8 < X \leq 12$ 이면 $8$ 점, $\cdots$ , $36 < X \leq 40$ 이면 $1$ 점, $X > 40$ 이면 $0$ 점을 득점한다. 기록에 의하면 양궁 선수 $\mathrm{A}$ 가 화살을 쏘았을 때 표적지의 중심에서 화살이 꽂힌 곳까지의 거리는 평균 $8 \mathrm{cm}$ , 표준편차 $2 \mathrm{cm}$ 인 정규분포를 따른다고 한다. $\mathrm{A}$ 가 $12$ 발의 화살을 쏘았을 때 $8$ 점을 득점한 화살의 개수 $Y$ 의 기대값 $\mathrm{E} ( \mathit{Y} )$ 는? [4점]

<표준정규분포표>
$z$	$P ( 0 \leq Z \leq z )$
$1.0$ $2.0$ $3.0$	$0.3413$ $0.4772$ $0.4987$

① $4.0956$ ② $4.9112$ ③ $5.7264$ ④ $5.8554$ ⑤ $5.9844$

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③

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해설

$X$ 는 정규분포 $\mathrm{N} ( 8 , 2 ^{2} )$ 을 따르고 화살 한 발을 쏘아 $8$ 점을 득점할 확률은 $\mathrm{P} \mathit{(} 8 < X \leq 12 )$ 이므로 $\mathrm{P} \mathit{(} 8 < X \leq 12 )$ $\displaystyle = \mathrm{P} \mathit{\left( \frac{8 - 8}{2} < Z \leq \frac{12 - 8}{2} \right)}$ $\mathrm{=} P \mathit{\left( 0 < Z \leq 2 \right)}$ $= 0.4772$ 화살을 쏘았을 때 득점하는 사건은 독립이므로 $12$ 발 쏘았을 때, $8$ 점을 득점한 화살의 수 $Y$ 의 기댓값 $\mathrm{E} ( \mathit{Y} ) = np = 12 \times 0.4772 = 5.7264$

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