약수와 제곱 집합

[출제의도] 집합의 연산 법칙을 이용하여 집합의 원소의 개수를 구한다. $A \cap B ^{C}$$= A - B$ $= A - ( A \cap B )$ 이다. 그런데 $6 ^{3} = 2 ^{3} \times 3 ^{3}$이므로 집합 $A$의 원소는 $1$, $2$, $2 ^{2}$, $2 ^{3}$, $3$, $2 \times 3$, $2 ^{2} \times 3$, $2 ^{3} \times 3$, $3 ^{2}$, $2 \times 3 ^{2}$, $2 ^{2} \times 3 ^{2}$, $2 ^{3} \times 3 ^{2}$, $3 ^{3}$, $2 \times 3 ^{3}$, $2 ^{2} \times 3 ^{3}$, $2 ^{3} \times 3 ^{3}$ 이고 $n \left( A \right) = 16$이다. $B = \left\{ y \left| y = x ^{2} , x \in A \right\} \right.$이므로 집합 $B$의 원소는 $1$, $2 ^{2}$, $2 ^{4}$, $2 ^{6}$, $3 ^{2}$, $2 ^{2} \times 3 ^{2}$, $2 ^{4} \times 3 ^{2}$, $2 ^{6} \times 3 ^{2}$, $3 ^{4}$, $2 ^{2} \times 3 ^{4}$, $2 ^{4} \times 3 ^{4}$, $2 ^{6} \times 3 ^{4}$, $3 ^{6}$, $2 ^{2} \times 3 ^{6}$, $2 ^{4} \times 3 ^{6}$, $2 ^{6} \times 3 ^{6}$ 이다. 집합 $A \cap B$의 원소는 $1 , 2 ^{2} , 3 ^{2} , 2 ^{2} \times 3 ^{2}$ 이고 $n \left( A \cap B \right) = 4$ 따라서 집합 $A \cap B ^{C}$의 원소의 개수는 $n \left( A \cap B ^{C} \right) = n \left( A \right) - n \left( A \cap B \right)$$= 16 - 4 = 12$ [다른 풀이] $A \cap B ^{C}$$= A - B$ $= A - ( A \cap B )$ 이다. $6 ^{3} = 2 ^{3} \times 3 ^{3}$이므로 집합 $A$의 원소의 개수는 $( 3 + 1 ) ( 3 + 1 ) = 16$ 이고, 집합 $B = \left\{ y \left| y = x ^{2} , x \in A \right\} \right.$에서 집합 $B$의 원소는 완전제곱수이므로 $n ( A \cap B )$는 집합 $A$의 원소 중 완전제곱수의 개수와 같다. 즉, $A \cap B = \left\{ 1 , 2 ^{2} , 3 ^{2} \right. , 2 ^{2} \times 3 ^{2} \}$ $n ( A \cap B ) = 4$ 따라서 집합 $A \cap B ^{C}$ 의 원소의 개수는 $n \left( A \cap B ^{C} \right) = n \left( A \right) - n \left( A \cap B \right)$$= 16 - 4 = 12$