약수 세 수 합 확률

[출제의도] 어떤 자연수의 약수의 개수를 구하고 이를 이용한 확률값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다. 자연수 $24$의 양의 약수는 $1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24$이다. 이 약수들을 분류하여 다음과 같이 $A _{0} = \left\{ 3 , 6 , 12 , 24 \right\}$, $A _{1} = \left\{ 1 , 4 \right\}$, $A _{2} = \left\{ 2 , 8 \right\}$라 하자. 세 수의 합이 $3$의 배수인 경우는 I) $A _{0}$에서 세 개를 택하는 경우 ${}_{4} C _{3} = 4$ ii) $A _{0} , A _{1} , A _{2}$에서 각각 한 개씩 택하는 경우 ${}_{4} C _{1} \times _{2} C _{1} \times _{2} C _{1} = 16$이다. 전체 경우의 수는 ${}_{8} C _{3} = 56$이다. 따라서 구하고자 하는 확률값은 $\displaystyle \frac{4 + 16}{56} = \frac{5}{14}$이다.