공통수학2집합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

약수 집합 보기

문제

자연수 nn에 대하여 nn의 양의 약수 전체의 집합을 AnA _{n}이라 하자. 예를 들면, n=6n = 6일 때 A6={1,2,3,6}A _{6} = \left\{ 1 , 2 , 3 , 6 \right\}이다. 두 자연수 m,nm , n에 대하여 <보기> 중 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

〈 보 기 〉
ㄱ. m,nm , n이 서로소이면 Am∩An=∅A _{m} \cap A _{n} = \emptyset ㄴ. nn이 mm의 배수이면 Am⊂AnA _{m} \subset A _{n} ㄷ. Am∩An⊂Am+nA _{m} \cap A _{n} \subset A _{m+n}

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

[출제의도] 약수와 배수를 이해하여 집합의 포함 관계를 증명하는 추론 능력을 측정하는 문제이다. ㄱ. m,nm , n이 서로소일 때, m,nm , n의 공약수는 1이므로 Am∩An={1}≠∅A _{m} \cap A _{n} = \left\{ 1 \right\} \ne \emptyset ∴ 거짓 ㄴ. nn이 mm의 배수이면 mm은 nn의 약수이다. 따라서 mm의 양의 약수의 집합은 nn의 양의 약수의 집합에 포함된다. 즉, Am⊂AnA _{m} \subset A _{n} ∴ 참 ㄷ. x∈Am∩Anx \in A _{m} \cap A _{n}라 하면, xx는 mm과 nn의 공약수이므로 m=xm′,n=xn′m = xm' , n = xn'로 나타낼 수 있다. 한편 m+n=x(m′+n′)m + n = x ( m' + n' )이므로 xx는 m+nm + n의 약수이다. 즉, x∈Am+nx \in A _{m+n} 따라서 Am∩An⊂Am+nA _{m} \cap A _{n} \subset A _{m+n} ∴ 참 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

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