미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

약수 합의 극한

문제

nn이 양의 정수일 때, 6n6 ^{n}의 양의 약수의 총합은 T(n)T ( n )이다. 이 때, lim⁡n→∞6nT(n)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{6 ^{n}}{T ( n )}의 값을 구하면? [4점] ①12\displaystyle \frac{1}{2}②13\displaystyle \frac{1}{3}③16\displaystyle \frac{1}{6}④112\displaystyle \frac{1}{12}⑤118\displaystyle \frac{1}{18}

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②

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해설

[출제의도] 무한등비수열의 극한값 구하기 6n=2n⋅3n6 ^{n} = 2 ^{n} \cdot 3 ^{n}이므로 T(n)=(1+2+⋯+2n)(1+3+⋯+3n)T ( n ) = ( 1 + 2 + \cdots + 2 ^{n} ) ( 1 + 3 + \cdots + 3 ^{n} ) =(2n+1−1)(3n+1−12)\displaystyle = \left( 2 ^{n+1} - 1 \right) \left( \frac{3 ^{n+1} - 1}{2} \right) ∴lim⁡n→∞6nT(n)=2(2n⋅3n)(2n+1−1)(3n+1−1)=13\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{6 ^{n}}{T ( n )} = \frac{2 ( 2 ^{n} \cdot 3 ^{n} )}{( 2 ^{n+1} - 1 ) ( 3 ^{n+1} - 1 )} = \frac{1}{3}

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#수열의극한#약수

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