미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

약수 개수 급수

문제

자연수 nn에 대하여 3n⋅5n+13 ^{n} \cdot 5 ^{n + 1}의 모든 양의 약수의 개수를 ana _{n}이라 할 때, ∑n=1∞1an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{1}{a _{n}}의 값은? [3점] ①12\displaystyle \frac{1}{2}②712\displaystyle \frac{7}{12}③23\displaystyle \frac{2}{3}④34\displaystyle \frac{3}{4}⑤56\displaystyle \frac{5}{6}

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①

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해설

3n⋅5n+13 ^{n} \cdot 5 ^{n + 1}의 모든 양의 약수의 개수는 an=(n+1)(n+2)a _{n} = \left( n + 1 \right) \left( n + 2 \right)이다. 따라서 ∑n=1∞1an=∑n=1∞1(n+1)(n+2)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{1}{a _{n}} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{1}{\left( n + 1 \right) \left( n + 2 \right)} =∑n=1∞{1n+1−1n+2}\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left\{ \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} \right\} =lim⁡n→∞∑k=1n{1k+1−1k+2}\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n} \left\{ \frac{1}{k + 1} - \frac{1}{k + 2} \right\}} =lim⁡n→∞{(12−13)+(13−14)+⋯+(1n+1−1n+2)}\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left\{ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} \right) \right\}} =lim⁡n→∞{12−1n+2}\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left\{ \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 2} \right\}} =12\displaystyle = \frac{1}{2}

태그

#급수#부분분수

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