약수 보존 함수 확률

집합 $X = \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 \right\}$에 대하여 $f : X \rightarrow X$인 모든 함수 $f$에서 $a \in X$, $b \in X$에 대하여 $a$가 $b$의 약수이면 $f \left( a \right)$는 $f \left( b \right)$의 약수이므로 (ⅰ) $f \left( 1 \right) = 1$일 때 $1$은 $2$, $3$, $4$의 약수이고 $3$은 $2$와 $4$의 약수가 아니므로 가능한 $f \left( 3 \right)$의 값은 $1$, $2$, $3$, $4$의 $4$가지이고 (a) $f \left( 2 \right) = 1$인 경우 가능한 $f \left( 4 \right)$의 값은 $1$, $2$, $3$, $4$의 $4$가지 (b) $f \left( 2 \right) = 2$인 경우 가능한 $f \left( 4 \right)$의 값은 $2$, $4$의 $2$가지 (c) $f \left( 2 \right) = 3$인 경우 가능한 $f \left( 4 \right)$의 값은 $3$의 $1$가지 (d) $f \left( 2 \right) = 4$인 경우 가능한 $f \left( 4 \right)$의 값은 $4$의 $1$가지 따라서 $f \left( 1 \right) = 1$일 때 함수 $f$의 개수는 $4 \times \left( 4 + 2 + 1 + 1 \right) = 32$ 이때, $f \left( 4 \right)$가 짝수인 함수 $f$의 개수는 $4 \times 5 = 20$ (ⅱ) $f \left( 1 \right) = 2$일 때 가능한 $f \left( 2 \right)$의 값은 $2$, $4$의 $2$가지 (a) $f \left( 2 \right) = 2$일 때 가능한 $f \left( 3 \right)$의 값은 $2$, $4$의 $2$가지 가능한 $f \left( 4 \right)$의 값은 $2$, $4$의 $2$가지 (b) $f \left( 2 \right) = 4$일 때 가능한 $f \left( 3 \right)$의 값은 $2$, $4$의 $2$가지 가능한 $f \left( 4 \right)$의 값은 $4$의 $1$가지 따라서 $f \left( 1 \right) = 2$일 때 함수 $f$의 개수는 $2 \times 2 + 2 = 6$ 이때, $f \left( 4 \right)$가 짝수인 함수 $f$의 개수는 $6$ (ⅲ) $f \left( 1 \right) = 3$일 때 $f \left( 2 \right) = f \left( 3 \right) = f \left( 4 \right) = 3$이어야 하므로 함수 $f$의 개수는 $1$ 이때, $f \left( 4 \right)$가 짝수인 함수 $f$는 존재하지 않는다. (ⅳ) $f \left( 1 \right) = 4$일 때 $f \left( 2 \right) = f \left( 3 \right) = f \left( 4 \right) = 4$이어야 하므로 함수 $f$의 개수는 $1$ 이때, $f \left( 4 \right)$가 짝수인 함수 $f$의 개수는 $1$ 이상에서 조건을 만족시키는 함수 $f$의 개수는 $32 + 6 + 1 + 1 = 40$ $f \left( 4 \right)$가 짝수인 함수 $f$의 개수는 $20 + 6 + 1 = 27$ 따라서 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{27}{40}$이다. [다른 풀이] 집합 $X = \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 \right\}$에 대하여 $f : X \rightarrow X$인 모든 함수 $f$에서 $a \in X$, $b \in X$에 대하여 $a$가 $b$의 약수이면 $f \left( a \right)$는 $f \left( b \right)$의 약수이므로 $f \left( 1 \right) \leq f \left( 2 \right) \leq f \left( 4 \right)$, $f \left( 1 \right) \leq f \left( 3 \right)$ 을 만족시킨다. (ⅰ) $f \left( 1 \right) = 1$일 때 $f \left( 2 \right)$, $f \left( 4 \right)$는 $1$, $2$, $4$에 대응되거나 $1$, $3$에 대응되어야 하고, 모두 $1$에 대응되는 경우는 중복이므로 가능한 경우의 수는 ${}_{3} \mathrm{H} _{2} + _{2} H _{2} - 1 = _{4} C _{2} + _{3} C _{2} - 1 = 8$ $f \left( 3 \right)$은 모든 원소에 대응될 수 있으므로 가능한 경우의 수는 $4$ 따라서 $f \left( 1 \right) = 1$일 때 함수 $f$의 개수는 $8 \times 4 = 32$ 이때, $f \left( 4 \right)$가 짝수인 경우는 $f \left( 4 \right) = 2$일 때, $f \left( 2 \right)$의 값은 $1$, $2$의 $2$가지 $f \left( 4 \right) = 4$일 때, $f \left( 2 \right)$의 값은 $1$, $2$, $4$의 $3$가지 이므로 $f \left( 4 \right)$가 짝수인 함수 $f$의 개수는 $\left( 2 + 3 \right) \times 4 = 20$ (ⅱ) $f \left( 1 \right) = 2$일 때 $f \left( 2 \right)$, $f \left( 4 \right)$는 $2$ 또는 $4$에 대응될 수 있으므로 가능한 경우의 수는 ${}_{2} \mathrm{H} _{2} = _{3} C _{2} = 3$ $f \left( 3 \right)$은 $2$ 또는 $4$에 대응될 수 있으므로 가능한 경우의 수는 $2$ 따라서 $f \left( 1 \right) = 2$일 때 함수 $f$의 개수는 $3 \times 2 = 6$ 이때, $f \left( 4 \right)$는 항상 짝수이므로 $f \left( 4 \right)$가 짝수인 함수 $f$의 개수는 $6$ (ⅲ) $f \left( 1 \right) = 3$일 때 $f \left( 2 \right) = f \left( 3 \right) = f \left( 4 \right) = 3$이어야 하므로 함수 $f$의 개수는 $1$ 이때, $f \left( 4 \right)$가 짝수인 함수 $f$는 존재하지 않는다. (ⅳ) $f \left( 1 \right) = 4$일 때 $f \left( 2 \right) = f \left( 3 \right) = f \left( 4 \right) = 4$이어야 하므로 함수 $f$의 개수는 $1$ 이때, $f \left( 4 \right)$가 짝수인 함수 $f$의 개수는 $1$ 이상에서 조건을 만족시키는 함수 $f$의 개수는 $32 + 6 + 1 + 1 = 40$ $f \left( 4 \right)$가 짝수인 함수 $f$의 개수는 $20 + 6 + 1 = 27$ 따라서 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{27}{40}$이다.