약수 9개 확률

한 개의 동전을 두 번 던져서 나온 앞면의 횟수가 $0$, $1$, $2$일 확률은 $\displaystyle \frac{1}{4}$, $\displaystyle \frac{1}{2}$, $\displaystyle \frac{1}{4}$ 양의 약수가 개수가 $9$인 자연수는 $a ^{8}$ 또는 $b ^{2} \times c ^{2}$ (단, $a$, $b$, $c$는 소수이고 $b \ne c$) 이어야 한다. 이때 얻은 점수는 $1$이상 $6 ^{3} = 216$이하이므로 조건을 만족하는 점수는 $2 ^{2} \times 3 ^{2}$ 또는 $2 ^{2} \times 5 ^{2}$ (ⅰ) 얻은 점수가 $2 ^{2} \times 3 ^{2} = 36$일 때 (a) $6 \times 6$일 때 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{1}{6 ^{2}}$ (b) $1 \times 6 \times 6$ 또는 $3 \times 3 \times 4$일 때 $\displaystyle \frac{1}{4} \times \frac{1}{6 ^{3}} \times \frac{3 !}{2 !} \times 2 = \frac{3}{2 \times 6 ^{3}}$ (c) $2 \times 3 \times 6$일 때 $\displaystyle \frac{1}{4} \times \frac{1}{6 ^{3}} \times 3 ! = \frac{3}{2 \times 6 ^{3}}$ 이상에서 얻은 점수가 $36$일 확률은 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{1}{6 ^{2}} + \frac{3}{2 \times 6 ^{3}} + \frac{3}{2 \times 6 ^{3}} = \frac{1}{36}$ (ⅱ) 얻은 점수가 $2 ^{2} \times 5 ^{2} = 100$일 때 $4 \times 5 \times 5 = 100$이므로 얻은 점수가 $100$일 확률은 $\displaystyle \frac{1}{4} \times \frac{1}{6 ^{3}} \times \frac{3 !}{2 !} = \frac{3}{4 \times 6 ^{3}}$ (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{1}{36} + \frac{3}{4 \times 6 ^{3}} = \frac{1}{32}$