대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

약물 농도 로그 활용

문제

어떤 약물을 사람의 정맥에 일정한 속도로 주입하기 시작한 지 $t$ 분 후 정맥에서의 약물 농도가 $C$ ( $\mathrm{ng} / mL$ )일 때, 다음 식이 성립한다고 한다. $\log \left( 10 - C \right) = 1 - k t$ (단, $C < 10$ 이고, $k$ 는 양의 상수이다.) 이 약물을 사람의 정맥에 일정한 속도로 주입하기 시작한 지 $30$ 분 후 정맥에서의 약물 농도는 $2$ $\mathrm{ng} / mL$ 이고, 주입하기 시작한 지 $60$ 분 후 정맥에서의 약물 농도가 $a$ ( $\mathrm{ng} / mL$ )일 때, $a$ 의 값은? [4점] ① $3$ ② $3.2$ ③ $3.4$ ④ $3.6$ ⑤ $3.8$

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④

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해설

[출제의도] 로그의 성질을 활용하여 관련된 외적 문제를 해결한다. $30$ 분 후 농도가 $2$ $\mathrm{ng} / mL$ 이므로 $\log \left( 10 - 2 \right)$ $= 1 - 30 k$ , $k$ $\displaystyle = \frac{1}{30} \log \left( \frac{5}{4} \right)$ $60$ 분 후 농도가 $a$ 이므로 $\log \left( 10 - a \right)$ $= 1 - 60 k$ $\log \left( 10 - a \right)$ $\displaystyle = 1 - 2 \log \left( \frac{5}{4} \right)$ $\displaystyle = \log \left( \frac{32}{5} \right)$ 따라서 $a$ $\displaystyle = \frac{18}{5}$ $= 3.6$

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