공통수학2평면좌표AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

x축을 사이에 둔 두 점과 거리의 차

문제

좌표평면 위의 두 점 A(1,3)\mathrm{A} ( 1 , 3 ), B(5,−2)\mathrm{B} ( 5 , - 2 ) 와 xx축 위를 움직이는 점 P\mathrm{P} 에 대하여 ∣PA‾−PB‾∣\displaystyle \left| \overline{\mathrm{PA}} - \overline{\mathrm{PB}} \right| 의 최댓값은? [3점] ①17\displaystyle \sqrt{17}②25\displaystyle 2 \sqrt{5}③55④41\displaystyle \sqrt{41}⑤66

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①

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해설

두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B} 는 xx축에 대하여 서로 반대쪽에 있다. 점 B\mathrm{B} 를 xx축에 대하여 대칭이동한 점을 B′\mathrm{B}' 이라 하면 B′(5,2)\mathrm{B}' ( 5 , 2 ) 이고 PB‾=PB′‾\displaystyle \overline{\mathrm{PB}} = \overline{\mathrm{PB}'} ∣PA‾−PB‾∣=∣PA‾−PB′‾∣≤AB′‾\displaystyle \left| \overline{\mathrm{PA}} - \overline{\mathrm{PB}} \right| = \left| \overline{\mathrm{PA}} - \overline{\mathrm{PB}'} \right| \leq \overline{\mathrm{AB}'} 이고 등호는 점 P\mathrm{P} 가 직선 AB′\mathrm{AB}' 위에 있으면서 선분 AB′\mathrm{AB}' 위에는 있지 않을 때 성립한다. 직선 AB′\mathrm{AB}' 의 기울기는 2−35−1=−14\displaystyle \frac{2 - 3}{5 - 1} = - \frac{1}{4} 이므로 y−3=−14(x−1)\displaystyle y - 3 = - \frac{1}{4} ( x - 1 ) y=0y = 0 을 대입하면 x=13x = 13 이므로 P(13,0)\mathrm{P} ( 13 , 0 ) 일 때 등호가 성립한다. AB′‾=(5−1)2+(2−3)2=17\displaystyle \overline{\mathrm{AB}'} = \sqrt{( 5 - 1 ) ^{2} + ( 2 - 3 ) ^{2}} = \sqrt{17} 따라서 최댓값은 17\displaystyle \sqrt{17} 이다. 답 ①

태그

#거리의 차의 최대#대칭점#x축 위의 점

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