x^y=y^x 비 조건

[출제 의도] 지수법칙과 로그의 성질을 활용하여 식의 값을 구할 수 있다. $x : y = 1 : 2$ 이므로 $y = 2 x$ …㉠ ${x ^{y} = y ^{x}}$의 양변에 상용로그를 취하면 $y \log x = x \log y$ $\displaystyle \frac{\log y}{\log x} = \frac{y}{x} = \frac{2 x}{x} = 2$ 이므로 $\log _{x} y = 2$$( x \ne 1 )$, $y = x ^{2}$ …㉡ ㉠, ㉡에서 $x ^{2} = 2 x$ ∴$x = 2$, $y = 4$ ∴ $x ^{2} + y ^{2} = 4 + 16 = 20$