x³/[x] 자연수 개수

${{\mathbf{[}} x \mathbf{]} _{} ^{}} = n$ 이라 두면 $n \leq x < n + 1$ $\rightarrow n ^{3} \leq x ^{3} < ( n + 1 ) ^{3} = n ^{3} + 3 n ^{2} + 3 n + 1$ $\displaystyle \rightarrow n ^{2} \leq \frac{x ^{3}}{n} \leq n ^{2} + 3 n + 3 < n ^{2} + 3 n + 3 + \frac{1}{n}$ $\therefore$${{\mathbf{[}} x \mathbf{]} _{} ^{}} = n$일 때, $\displaystyle \frac{x ^{3}}{{\mathbf{[}} x \mathbf{]} _{} ^{}}$가 자연수가 되는 $x$는 총 $n ^{2} + 3 n + 3 - ( n ^{2} ) + 1 = 3 n + 4$개가 존재한다. 그런데 $1 \leq x < 10$이므로 ${{\mathbf{[}} x \mathbf{]} _{} ^{}}$값은 $1 \leq {{\mathbf{[}} x \mathbf{]} _{} ^{}} < 10$이므로 $1 , 2 , \cdots , 9$ 까지 총 9개가 존재한다. $\therefore$$x$의 개수$\displaystyle = \sum\limits _{n=1} ^{9} \left( 3 n + 4 \right) = 3 \cdot 45 + 4 \cdot 9 = 171$ cf) 만약 $1 \leq x < 9.5$와 같이 주어졌다면 ${{\mathbf{[}} x \mathbf{]} _{} ^{}} = 9$ 되는 부분만 직접 나열하며 관찰하면 된다.