X²=O 행렬 집합

[출제의도] 행렬의 연산에 대한 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. $A \in S$이고 $A ^{-1}$가 존재한다고 가정하자. $A ^{2} = O$의 양변에 $( A ^{- 1} ) ^{2} = ( A ^{2} ) ^{- 1}$을 곱하면 $E = O$가 되어 모순이다. 따라서 $A \in S$이면 $A$의 역행렬이 존재하지 않는다. (참) ㄴ. (반례) $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$의 역행렬은 존재하지 않는다. 그런데 $A ^{2} = A \ne O$이므로 $A \notin S$이다. (거짓) ㄷ. (반례) $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$이면 $A ^{2} = B ^{2} = O$이므로 $A \in S$, $B \in S$이다. 이때 $\displaystyle AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$이고, $( AB ) ^{2} = AB \ne O$이므로 $AB \notin S$이다. (거짓) 이상에서 옳은 것은 ㄱ이다.