원의 평행이동과 직선

[출제의도] 원의 방정식과 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 원의 평행이동을 추론한다.

원 $C _{1}$의 중심의 좌표는 $\left( 2 + m , 3 \right)$이므로 점 $\left( 2 + m , 3 \right)$과 직선 $4 x - 3 y = 0$ 사이의 거리는 원의 반지름의 길이인 $3$보다 작다. 즉, $\displaystyle \frac{\left| 4 \left( 2 + m \right) - 9 \right|}{\sqrt{4 ^{2} + \left( - 3 \right) ^{2}}}$$< 3$ $- 15 < 4 m - 1 < 15$ $- 14 < 4 m < 16$ $\displaystyle - \frac{7}{2} < m < 4$ 조건 (가)를 만족시키는 자연수 $m$의 값은 $1$, $2$, $3$이다. (ⅰ) $m = 1$일 때, 원 $C _{2}$의 중심의 좌표는 $\left( 3 , 3 + n \right)$이므로 점 $\left( 3 , 3 + n \right)$과 직선 $4 x - 3 y = 0$ 사이의 거리는 원의 반지름의 길이인 $3$보다 작다. $\displaystyle \frac{\left| 12 - 3 \left( 3 + n \right) \right|}{\sqrt{4 ^{2} + \left( - 3 \right) ^{2}}}$$< 3$ $- 15 < 3 n - 3 < 15$ $- 12 < 3 n < 18$ $- 4 < n < 6$ 따라서 자연수 $n$의 값은 $1$, $2$, $3$, $4$, $5$이므로 이 경우 $m + n$의 최댓값은 $6$이다. (ⅱ) $m = 2$일 때, 원 $C _{2}$의 중심의 좌표는 $\left( 4 , 3 + n \right)$이므로 점 $\left( 4 , 3 + n \right)$과 직선 $4 x - 3 y = 0$ 사이의 거리는 원의 반지름의 길이인 $3$보다 작다. $\displaystyle \frac{\left| 16 - 3 \left( 3 + n \right) \right|}{\sqrt{4 ^{2} + \left( - 3 \right) ^{2}}}$$< 3$ $- 15 < 3 n - 7 < 15$ $- 8 < 3 n < 22$ $\displaystyle - \frac{8}{3} < n < \frac{22}{3}$ 따라서 자연수 $n$의 값은 $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$이므로 이 경우 $m + n$의 최댓값은 $9$이다. (ⅲ) $m = 3$일 때, 원 $C _{2}$의 중심의 좌표는 $\left( 5 , 3 + n \right)$이므로 점 $\left( 5 , 3 + n \right)$과 직선 $4 x - 3 y = 0$ 사이의 거리는 원의 반지름의 길이인 $3$보다 작다. $\displaystyle \frac{\left| 20 - 3 \left( 3 + n \right) \right|}{\sqrt{4 ^{2} + \left( - 3 \right) ^{2}}}$$< 3$ $- 15 < 3 n - 11 < 15$ $- 4 < 3 n < 26$ $\displaystyle - \frac{4}{3} < n < \frac{26}{3}$ 따라서 자연수 $n$의 값은 $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$이므로 이 경우 $m + n$의 최댓값은 $11$이다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 $m + n$의 최댓값은 $11$이다.