미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원의 접선과 수열 극한

문제

좌표평면에서 자연수 nn에 대하여 기울기가 nn이고 yy절편이 양수인 직선이 원 x2+y2=n2x ^{2} + y ^{2} = n ^{2}에 접할 때, 이 직선이 xx축, yy축과 만나는 점을 각각 PnP _{n}, QnQ _{n}이라 하자. ln=PnQn‾\displaystyle l _{n} = \overline{P _{n} Q _{n}}이라 할 때, lim⁡n→∞ln2n2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{l _{n}}{2 n ^{2}}}의 값은? [4점]

①18\displaystyle \frac{1}{8}②14\displaystyle \frac{1}{4}③38\displaystyle \frac{3}{8}④12\displaystyle \frac{1}{2}⑤58\displaystyle \frac{5}{8}

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④

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해설

원 x2+y2=n2x ^{2} + y ^{2} = n ^{2}에 접하고 기울기가 nn이고 yy절편이 양수인 직선의 방정식은 y=nx+nn2+1\displaystyle y = nx + n \sqrt{n ^{2} + 1} 따라서 Pn(−n2+1,0)\displaystyle P _{n} ( - \sqrt{n ^{2} + 1} , 0 ), Qn(0,nn2+1)\displaystyle Q _{n} ( 0 , n \sqrt{n ^{2} + 1} ) 이므로 ln=PnQn‾\displaystyle l _{n} = \overline{P _{n} Q _{n}} =(n2+1)+n2(n2+1)\displaystyle = \sqrt{( n ^{2} + 1 ) + n ^{2} ( n ^{2} + 1 )} =n4+2n2+1\displaystyle = \sqrt{n ^{4} + 2 n ^{2} + 1} =(n2+1)2=n2+1\displaystyle = \sqrt{( n ^{2} + 1 ) ^{2}} = n ^{2} + 1 ∴\therefore lim⁡n→∞ln2n2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{l _{n}}{2 n ^{2}}=lim⁡n→∞n2+12n2=12\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{n ^{2} + 1}{2 n ^{2}} = \frac{1}{2}

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#수열의 극한#원의 접선

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