원의 접선과 삼각형 넓이

원 $C$의 반지름의 길이를 $r$이라 하자. $\displaystyle {\overline{{\mathrm{AP}} \mathit{_{1}}}} = {\overline{{\mathrm{AP}} \mathit{_{2}}}} = r$, $\angle {\mathrm{AP}} \mathit{_{1}} {\mathrm{Q}} \mathit{_{1}} = \angle {\mathrm{AP}} \mathit{_{2}} {\mathrm{Q}} \mathit{_{2}} = 90 ^\circ$이고 삼각형 ${\mathrm{AQ}} \mathit{\mathit{_{2}}} {\mathrm{P}} \mathit{_{2}}$의 넓이가 삼각형 ${\mathrm{AP}} \mathit{_{1}} {\mathrm{Q}} \mathit{_{1}}$의 넓이의 $4$배이므로 $\displaystyle {\overline{{\mathrm{P}} \mathit{_{2}} {\mathrm{Q}} \mathit{_{2}}}} = 4 {\overline{{\mathrm{P}} \mathit{_{1}} {\mathrm{Q}} \mathit{_{1}}}}$ 삼각형 ${\mathrm{OP}} \mathit{_{1}} {\mathrm{Q}} \mathit{_{1}}$과 삼각형 ${\mathrm{OP}} \mathit{_{2}} {\mathrm{Q}} \mathit{_{2}}$는 서로 닮음이고 닮음비가 $1 : 4$이므로 $\displaystyle {\overline{{\mathrm{OP}} \mathit{_{1}}}} : {\overline{{\mathrm{OP}} \mathit{_{2}}}} = 1 : 4$ $\displaystyle {\overline{{\mathrm{OP}} \mathit{_{1}}}} = 2$, $\displaystyle {\overline{{\mathrm{OP}} \mathit{_{2}}}} = 2 r + 2$ $2 : \left( 2 r + 2 \right) = 1 : 4$이므로 $2 r + 2 = 8$, $r = 3$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} = 2 + 3 = 5$이고 점 ${\mathrm{A}}$는 직선 $y = x$ 위의 점이므로 점 ${\mathrm{A}}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{5 \sqrt{2}}{2} , \frac{5 \sqrt{2}}{2} \right)$이다. 따라서 원 $C$의 방정식은 $\displaystyle \left( x - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \right) ^{2} + \left( y - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \right) ^{2} = 9$ 원 $C$와 직선 $l$이 접하므로 점 ${\mathrm{A}}$와 직선 $l$ 사이의 거리는 원 $C$의 반지름의 길이인 $3$이다. 즉, $\displaystyle \frac{\left| m \times \frac{5 \sqrt{2}}{2} - 1 \times \frac{5 \sqrt{2}}{2} \right|}{\sqrt{m ^{2} + 1}} = 3$ $\displaystyle \frac{25}{2} \left( m - 1 \right) ^{2} = 9 \left( m ^{2} + 1 \right)$ $7 m ^{2} - 50 m + 7 = 0$, $\left( 7 m - 1 \right) \left( m - 7 \right) = 0$ $\displaystyle m = \frac{1}{7}$ 또는 $m = 7$ 원 $C$에 접하는 두 직선 중 기울기가 작은 직선이 $y = mx$이므로 $\displaystyle m = \frac{1}{7}$ $p = 7$, $q = 1$이므로 $p + q = 7 + 1 = 8$