원의 접선과 넓이 빈칸

좌표평면 위의 세 점 $\mathrm{O} ( 0 , 0 )$, $\mathrm{A} ( 6 , - 8 )$, $\mathrm{B} ( 7 , - 1 )$을 지나는 원 $C$에 대하여 원 $C$ 위의 점 $\mathrm{\mathrm{O}}$에서의 접선을 $l _{1}$이라 하자. 두 삼각형 $\mathrm{OAB}$와 $\mathrm{OPB}$의 넓이가 같게 되는 직선 $l _{1}$ 위의 점을 $\mathrm{P}$, 점 $\mathrm{P}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{Q}$라 할 때, 다음은 선분 $\mathrm{QO}$의 길이를 구하는 과정이다. (단, 점 $\mathrm{P}$는 제$3$사분면 위의 점이다.) 그림과 같이 세 점 $\mathrm{O}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$를 지나는 원 $C$의 방정식은 $\left( x - 3 \right) ^{2} + \left( y + 4 \right) ^{2} = 25$이므로 선분 $\mathrm{OA}$는 원 $C$의 지름이다. 직선 $l _{1}$은 직선 $\mathrm{OA}$와 수직이고 점 $\mathrm{O}$를 지나므로 직선 $l _{1}$의 방정식은 $y = {\square {( \text{가} )}}$이다. 점 $\mathrm{A}$를 지나고 직선 $\mathrm{OB}$와 평행한 직선을 $l _{2}$라 하면, 두 직선 $l _{1}$, $l _{2}$가 만나는 점이 두 삼각형 $\mathrm{OAB}$와 $\mathrm{OPB}$의 넓이가 같게 되는 점 $\mathrm{P}$이다.

직선 $l _{2}$의 방정식은 $y = {\square {( \text{나} )}}$이다. 점 $\mathrm{P}$는 두 직선 $l _{1}$, $l _{2}$가 만나는 점이므로 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표는 ${\square {( \text{다} )}}$이다. 따라서 선분 $\mathrm{QO}$의 길이는 $\left| {\square {( \text{다} )}} \right|$이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f ( x )$, $g ( x )$라 하고, (다)에 알맞은 수를 $k$라 할 때, $f ( 2 k ) + g ( - 1 )$의 값은? [4점] ①$- 20$②$- 19$③$- 18$④$- 17$⑤$- 16$