공통수학2원의 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원의 접선과 절편 보기

문제

그림과 같이 원 (x−1)2+(y−1)2=1( x - 1 ) ^{2} + ( y - 1 ) ^{2} = 1위의 점 P\mathrm{P}에서 그은 접선이 xx축, yy축과 만나는 점을 각각 A(a,0)\mathrm{A} ( \mathit{a} , 0 ), B(0,b)\mathrm{B} ( \mathit{0} , b )라 하고 AP‾=s\displaystyle \overline{AP} = \mathit{s}, BP‾=t\displaystyle \overline{BP} = \mathit{t}라 하자. <보기>에서 항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, a>2a > 2, b>2b > 2) [4점]

<보 기>
ㄱ. s:t=a:bs : t = a : b ㄴ. ab=14a b = 14이면 a+b=8a + b = 8이다. ㄷ. 삼각형 OAB\mathrm{O} AB의 넓이는 sts t이다.

①ㄱ②ㄴ③ㄷ④ㄱ, ㄴ⑤ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

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해설

[출제의도] 원의 접선의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. 원 밖의 점에서 그은 두 접선의 접점까지의 거리는 같으므로 AP‾=s=a−1\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} = \mathit{s} = a - 1, BP‾=t=b−1\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} = \mathit{t} = b - 1

ㄱ. AP‾:BP‾=s:t=(a−1):(b−1)\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} : \overline{BP} = \mathit{s} : t = \mathit{(} a - 1 ) : ( b - 1 ) (거짓) ㄴ. AB‾=s+t=(a−1)+(b−1)=a+b−2\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \mathit{s} + t = ( a - 1 ) + ( b - 1 ) = a + b - 2 삼각형 OAB\mathrm{OAB}에 피타고라스의 정리를 적용하면 a2+b2=(a+b−2)2a ^{2} + b ^{2} = ( a + b - 2 ) ^{2} 12ab=a+b−1\displaystyle \frac{1}{2} ab = a + b - 1 따라서 ab=14ab = 14이면 a+b=8a + b = 8이다. (참) ㄷ. st=(a−1)(b−1)=ab−a−b+1s t = ( a - 1 ) ( b - 1 ) = ab - a - b + 1 =ab−12ab\displaystyle = ab - \frac{1}{2} ab=12ab\displaystyle = \frac{1}{2} ab 이므로 삼각형 OAB\mathrm{OAB}의 넓이는 sts t이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

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