미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원의 접선과 극한

문제

그림과 같이 좌표평면에서 곡선 y=2x\displaystyle y = \sqrt{2 x}위의 점 P(t,2t)\displaystyle \mathrm{P} ( \mathit{t} , \sqrt{2 t} )가 있다. 원점 O\mathrm{O}를 중심으로 하고 선분 OP\mathrm{OP}를 반지름으로 하는 원을 CC, 점 P\mathrm{P}에서의 원 CC의 접선이 xx축과 만나는 점을 Q\mathrm{Q}라 하자. 원 CC의 넓이를 S(t)S ( t )라 할 때, lim⁡t→+0S(t)OQ‾−PQ‾\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow + 0} {\frac{\mathrm{\mathit{S} ( t )}}{\mathrm{\overline{OQ}} - \mathrm{\overline{PQ}}}}의 값은? (단, t>0t > 0) [4점]

①2π\displaystyle \sqrt{2} \pi②2π2 \pi③22π\displaystyle 2 \sqrt{2} \pi④4π4 \pi⑤42π\displaystyle 4 \sqrt{2} \pi

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④

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해설

[출제의도] 함수의 극한값 구하기 OP‾=t2+2t\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} = \mathit{\sqrt{t ^{2} + 2 t}}이므로 S(t)=(t2+2t)πS ( t ) = ( t ^{2} + 2 t ) \pi 원 CC 위의 점 P\mathrm{P}에서의 접선의 방정식이 tx+2ty=t2+2t\displaystyle tx + \sqrt{2 t} y = t ^{2} + 2 t이므로 Q(t+2,0)\mathrm{Q} \mathit{(} t + 2 , 0 ) OQ‾=t+2\displaystyle \mathrm{\overline{OQ}} = \mathit{t} + 2, PQ‾=2t+4\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = \mathit{\sqrt{2 t + 4}}이므로 lim⁡t→+0S(t)OQ‾−PQ‾=lim⁡t→+0(t2+2t)π(t+2)−2t+4=4π\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow + 0} {\frac{\mathrm{\mathit{S} ( t )}}{\mathrm{\overline{OQ}} - \mathrm{\overline{PQ}}} = \lim\limits _{\mathit{t} \rightarrow + 0} {\frac{\mathit{( t ^{2} + 2 t ) \pi}}{( t + 2 ) - \sqrt{2 t + 4}}}} \mathit{=} 4 \pi 따라서 lim⁡t→+0S(t)OQ‾−PQ‾=4π\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow + 0} {\frac{\mathrm{\mathit{S} ( t )}}{\mathrm{\overline{OQ}} - \mathrm{\overline{PQ}}} = 4 \pi}

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#함수의 극한#원의 접선

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