원의 접선 y절편 합

[출제의도] 여러 가지 수열의 합을 활용하여 문제해결하기 $x$$= n$일 때의 $y$좌표가 양수인 점 ${\mathrm{P}} _{n}$의 $y$좌표를 $y _{n}$이라 하면 점 ${\mathrm{P}} _{n} \mathit{\left( n , y _{n} \right)}$은 원 $x ^{2} + y ^{2} = 10 ^{2}$ 위에 있으므로 $n ^{2} + y _{n} ^{2} = 10 ^{2}$ $y _{n} ^{2} = 10 ^{2} - n ^{2}$ 점 $\mathrm{P} _{\mathit{n}} \left( \mathit{n} , y _{n} \right)$에서 원 $x ^{2} + y ^{2} = 10 ^{2}$에 접하는 직선의 방정식은 $nx + y _{n} y = 10 ^{2}$ $\displaystyle y = - \frac{n}{y _{n}} x + \frac{10 ^{2}}{y _{n}}$ $y$절편 $\displaystyle a _{n} = \frac{10 ^{2}}{y _{n}}$$\displaystyle = \frac{10 ^{2}}{\sqrt{10 ^{2} - n ^{2}}}$ $\displaystyle \frac{100}{a _{n}} = \sqrt{10 ^{2} - n ^{2}}$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{9}$$\displaystyle \left( \frac{100}{a _{n}} \right) ^{2}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{9} \left( 100 - n ^{2} \right)$$\displaystyle = 900 - \frac{9 \times 10 \times 19}{6}$$= 615$