원의 접선 기울기

[출제의도] 원의 성질을 이용하여 접선의 기울기를 구하는 문제를 해결한다.

원 $\displaystyle \left( x - \frac{5}{2} \right) ^{2} + y ^{2} = \left( \frac{5}{2} \right) ^{2}$의 중심을 $\mathrm{C}$라 하면 좌표는 $\displaystyle \mathrm{C} \left( \frac{5}{2} , 0 \right)$이다. 원이 $x$축과 만나는 점 중 원점이 아닌 점을 $\mathrm{A}$라 하고 점 $\mathrm{P}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자. 점 $\mathrm{P}$가 원 $C$ 위의 점이고 선분 $\mathrm{OA}$가 원 $C$의 지름이므로 $\mathrm{\angle} OPA = 90 ^\circ$ 삼각형 $\mathrm{OAP}$에서 피타고라스의 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}}$$\displaystyle = \sqrt{{\overline{\mathrm{OA}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{OP}}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{5 ^{2} - 3 ^{2}}$$= 4$ 삼각형 $\mathrm{OAP}$와 삼각형 $\mathrm{OPH}$에서 $\mathrm{\angle} OPA$$= \mathrm{\angle} OHP$$= 90 ^\circ$ $\mathrm{\angle} AOP$$= \mathrm{\angle} POH$ $\mathrm{\triangle} OAP \backsim \triangle OPH$ ($\because$$\mathrm{AA}$닮음) $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} : {\overline{\mathrm{OP}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{OP}}} : {\overline{\mathrm{OH}}}$이고 조건 (가)에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OP}}} = 3$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} = 5$이므로 $\displaystyle 5 : 3 = 3 : {\overline{\mathrm{OH}}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{OH}}}$$\displaystyle = \frac{9}{5}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{OH} \mathit{}}} : {\overline{\mathrm{HP}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{OP}}} : {\overline{\mathrm{PA}}}$ $\displaystyle \frac{9}{5} : {\overline{\mathrm{HP} \mathit{}}}$$= 3 : 4$ $\displaystyle \overline{\mathrm{HP} {}}$$\displaystyle = \frac{12}{5}$ 따라서 점 $\mathrm{P}$$\displaystyle \left( \frac{9}{5} , \frac{12}{5} \right)$이다. $\displaystyle \mathrm{C} \left( \frac{5}{2} , 0 \right)$이므로 직선 $\mathrm{CP}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{- \frac{12}{5}}{\frac{5}{2} - \frac{9}{5}}$$\displaystyle = \frac{- \frac{24}{10}}{\frac{7}{10}}$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{24}{7}$ 점 $\mathrm{P}$에서의 접선과 직선 $\mathrm{CP}$는 서로 수직이고 두 직선의 기울기의 곱이 $- 1$이므로 점 $\mathrm{P}$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle \frac{7}{24}$ 따라서 $p = 24$, $q = 7$이므로 $p + q$$= 31$ [다른 풀이 1] 원 $\displaystyle \left( x - \frac{5}{2} \right) ^{2} + y ^{2} = \left( \frac{5}{2} \right) ^{2}$의 중심을 $\mathrm{C}$라 하면 좌표는 $\displaystyle \mathrm{C} \left( \frac{5}{2} , 0 \right)$이다. 원이 $x$축과 만나는 점 중 원점이 아닌 점을 $\mathrm{A}$라 하고 점 $\mathrm{P}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자. 점 $\mathrm{P}$가 원 $C$ 위의 점이고 선분 $\mathrm{OA}$가 원 $C$의 지름이므로 $\mathrm{\angle} OPA = 90 ^\circ$ 삼각형 $\mathrm{OAP}$에서 피타고라스의 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}}$$\displaystyle = \sqrt{{\overline{\mathrm{OA}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{OP}}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{5 ^{2} - 3 ^{2}}$$= 4$ 삼각형 $\mathrm{OAP}$와 삼각형 $\mathrm{OPH}$에서 $\mathrm{\angle} OPA$$= \mathrm{\angle} OHP$$= 90 ^\circ$ $\mathrm{\angle} AOP$$= \mathrm{\angle} POH$ $\mathrm{\triangle} OAP \backsim \triangle OPH$ ($\because$$\mathrm{AA}$닮음) $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} : {\overline{\mathrm{OP}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{OP}}} : {\overline{\mathrm{OH}}}$이고 조건 (가)에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OP}}} = 3$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} = 5$이므로 $\displaystyle 5 : 3 = 3 : {\overline{\mathrm{OH}}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{OH}}}$$\displaystyle = \frac{9}{5}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{OH} \mathit{}}} : {\overline{\mathrm{HP}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{OP}}} : {\overline{\mathrm{PA}}}$ $\displaystyle \frac{9}{5} : {\overline{\mathrm{HP} \mathit{}}}$$= 3 : 4$ $\displaystyle \overline{\mathrm{HP} {}}$$\displaystyle = \frac{12}{5}$ 따라서 점 $\mathrm{P}$$\displaystyle \left( \frac{9}{5} , \frac{12}{5} \right)$이다. 원 $\displaystyle \left( x - \frac{5}{2} \right) ^{2} + y ^{2} = \left( \frac{5}{2} \right) ^{2}$과 점 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{\mathit{9}}{5} , \frac{12}{5} \right)$를 $x$축의 방향으로 $\displaystyle - \frac{5}{2}$만큼 평행이동한 원과 점을 각각 $C _{1}$, $\mathrm{P} _{1}$이라 하면 $\displaystyle C _{1} : x ^{2} + y ^{2} = \frac{25}{4}$, $\displaystyle \mathrm{P} _{1} \left( \mathit{-} \frac{7}{10} , \frac{12}{5} \right)$ 원 $C _{1}$ 위의 점 $\mathrm{P} _{1}$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle - \frac{7}{10} x + \frac{12}{5} y = \frac{25}{4}$ 위의 직선의 기울기는 $\displaystyle \frac{\frac{7}{10}}{\frac{12}{5}}$$\displaystyle = \frac{7}{24}$ 이고 이 직선은 원 $C$ 위의 점 $\mathrm{P}$에서의 접선과 서로 평행하므로 원 $C$ 위의 점 $\mathrm{P}$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle \frac{7}{24}$이다. 따라서 $p = 24$, $q = 7$이므로 $p + q$$= 31$ [다른 풀이 2] 원 $\displaystyle \left( x - \frac{5}{2} \right) ^{2} + y ^{2} = \left( \frac{5}{2} \right) ^{2}$의 중심을 $\mathrm{C}$라 하면 좌표는 $\displaystyle \mathrm{C} \left( \frac{5}{2} , 0 \right)$이다. 원이 $x$축과 만나는 점 중 원점이 아닌 점을 $\mathrm{A}$라 하고 점 $\mathrm{P}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자. 점 $\mathrm{P}$가 원 $C$ 위의 점이고 선분 $\mathrm{OA}$가 원 $C$의 지름이므로 $\mathrm{\angle} OPA = 90 ^\circ$ 삼각형 $\mathrm{OAP}$에서 피타고라스의 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}}$$\displaystyle = \sqrt{{\overline{\mathrm{OA}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{OP}}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{5 ^{2} - 3 ^{2}}$$= 4$ 삼각형 $\mathrm{OAP}$와 삼각형 $\mathrm{OPH}$에서 $\mathrm{\angle} OPA$$= \mathrm{\angle} OHP$$= 90 ^\circ$ $\mathrm{\angle} AOP$$= \mathrm{\angle} POH$ $\mathrm{\triangle} OAP \backsim \triangle OPH$ ($\because$$\mathrm{AA}$닮음) $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} : {\overline{\mathrm{OP}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{OP}}} : {\overline{\mathrm{OH}}}$이고 조건 (가)에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OP}}} = 3$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} = 5$이므로 $\displaystyle 5 : 3 = 3 : {\overline{\mathrm{OH}}}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{OH}}}$$\displaystyle = \frac{9}{5}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{OH} \mathit{}}} : {\overline{\mathrm{HP}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{OP}}} : {\overline{\mathrm{PA}}}$ $\displaystyle \frac{9}{5} : {\overline{\mathrm{HP} \mathit{}}}$$= 3 : 4$ $\displaystyle \overline{\mathrm{HP} {}}$$\displaystyle = \frac{12}{5}$ 따라서 점 $\mathrm{P}$$\displaystyle \left( \frac{9}{5} , \frac{12}{5} \right)$이다. 점 $\mathrm{P}$를 지나고 기울기가 $m$인 직선의 방정식은 $y$$\displaystyle = m \left( x - \frac{9}{5} \right) + \frac{12}{5}$ $5 mx - 5 y - 9 m + 12 = 0$ 위의 직선이 원 $\displaystyle \left( x - \frac{5}{2} \right) ^{2} + y ^{2} = \left( \frac{5}{2} \right) ^{2}$에 접하므로 원의 중심 $\displaystyle \mathrm{C} \left( \frac{5}{2} , 0 \right)$과 직선 $5 mx - 5 y - 9 m + 12 = 0$ 사이의 거리는 원의 반지름의 길이 $\displaystyle \frac{5}{2}$와 같다. $\displaystyle \frac{\left| \frac{25}{2} m - 9 m + 12 \right|}{\sqrt{\left( 5 m \right) ^{2} + \left( - 5 \right) ^{2}}}$$\displaystyle = \frac{5}{2}$ $\displaystyle \frac{\left| \frac{7}{2} m + 12 \right|}{5 \sqrt{m ^{2} + 1}}$$\displaystyle = \frac{5}{2}$ $\displaystyle 25 \sqrt{m ^{2} + 1} = \left| 7 m + 24 \right|$ 위 식의 양변을 제곱하여 정리하면 $625 m ^{2} + 625$$= 49 m ^{2} + 336 m + 576$ $576 m ^{2} - 336 m + 49 = 0$ $\left( 24 m - 7 \right) ^{2} = 0$ $\displaystyle m = \frac{7}{24}$ 따라서 $p = 24$, $q = 7$이므로 $p + q$$= 31$