원의 접선

[출제의도] 원의 접선의 방정식을 이해하여 점의 좌표를 구한다.

점 $\left( 0 , 3 \right)$을 지나고 원 $x ^{2} + y ^{2} = 1$에 접하는 직선의 기울기를 $m$이라 하면 접선의 방정식은 $y = mx + 3$ 즉, $mx - y + 3 = 0$ 원의 중심 $\left( 0 , 0 \right)$에서 직선 $mx - y + 3 = 0$까지의 거리는 원의 반지름의 길이와 같으므로 $\displaystyle \frac{\left| m \times 0 - 0 + 3 \right|}{\sqrt{m ^{2} + 1}} = 1$ $\displaystyle 3 = \sqrt{m ^{2} + 1}$, $m ^{2} = 8$ $\displaystyle m = 2 \sqrt{2}$, $\displaystyle m = \mathit{-} 2 \sqrt{2}$ (ⅰ) $\displaystyle m = 2 \sqrt{2}$일 때 접선의 방정식이 $\displaystyle y = \mathit{2} \sqrt{2} x + 3$이므로 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표 $k$는 $\displaystyle k = - \frac{3}{2 \sqrt{2}}$에서 $\displaystyle k ^{2} = \frac{9}{8}$ ($\mathrm{ii}$) $\displaystyle m = \mathit{-} 2 \sqrt{2}$일 때 접선의 방정식이 $\displaystyle y = \mathit{-} 2 \sqrt{2} x + 3$이므로 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표 $k$는 $\displaystyle k = \frac{\mathit{3}}{2 \sqrt{2}}$에서 $\displaystyle k ^{2} = \frac{9}{8}$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $16 k ^{2}$$\displaystyle = 16 \times \frac{9}{8}$$= 18$