원의 접선

[출제의도] 원의 접선의 방정식을 이해하여 미지수의 값을 구한다. 원 $x ^{2} + y ^{2} = r ^{2}$ 위의 점 $\displaystyle \left( a , 4 \sqrt{3} \right)$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle ax + 4 \sqrt{3} y = r ^{2}$, $\displaystyle ax + 4 \sqrt{3} y - r ^{2} = 0$ 이 접선이 직선 $\displaystyle x - \sqrt{3} y + b = 0$과 일치하므로 $\displaystyle \frac{a}{1} = \frac{4 \sqrt{3}}{- \sqrt{3}} = \frac{- r ^{2}}{b}$에서 $a = \mathit{-} 4$, $r ^{2} = 4 b$ $\cdots \cdots$ ㉠ 한편, 점 $\displaystyle \left( a , 4 \sqrt{3} \right)$이 원 $x ^{2} + y ^{2} = r ^{2}$ 위의 점이므로 $\displaystyle a ^{2} + \left( 4 \sqrt{3} \right) ^{2} = r ^{2}$ $\displaystyle r ^{2} = \left( - 4 \right) ^{2} + \left( 4 \sqrt{3} \right) ^{2}$$= 64$ $r > 0$이므로 $r = 8$ ㉠에서 $b$$\displaystyle = \frac{r ^{2}}{4}$$\displaystyle = \frac{64}{4}$$= 16$ 따라서 $a + b + r$$= \left( - 4 \right) + 16 + 8$$= 20$ [다른 풀이] 점 $\displaystyle \left( a , 4 \sqrt{3} \right)$을 $\mathrm{A}$라 하자. 원 $x ^{2} + y ^{2} = r ^{2}$ 위의 점 $\mathrm{A}$에서의 접선의 방정식이 $\displaystyle x - \sqrt{3} y + b = 0$이므로 이 접선의 기울기는 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$이다. 원점 $\mathrm{O}$에 대하여 직선 $\mathrm{OA}$는 이 접선과 수직이므로 직선 $\mathbf{\mathrm{OA}}$의 기울기는 $\displaystyle - \sqrt{3}$이다. 두 점 $\mathrm{O}$$\left( 0 , 0 \right)$, $\mathrm{A}$$\displaystyle \left( a , 4 \sqrt{3} \right)$을 지나는 직선의 기울기는 $\displaystyle \frac{4 \sqrt{3}}{a}$이므로 $\displaystyle \frac{4 \sqrt{3}}{a} = \mathit{-} \sqrt{3}$ $a = \mathit{-} 4$ 점 $\displaystyle \left( - 4 , 4 \sqrt{3} \right)$이 원 $x ^{2} + y ^{2} = r ^{2}$ 위의 점이므로 $\displaystyle \left( - 4 \right) ^{2} + \left( 4 \sqrt{3} \right) ^{2}$$= 16 + 48$$= 64$$= r ^{2}$ $r > 0$이므로 $r = 8$ 따라서 원 $x ^{2} + y ^{2} = 64$ 위의 점 $\displaystyle \left( - 4 , 4 \sqrt{3} \right)$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle - 4 x + 4 \sqrt{3} y = 64$, $\displaystyle x - \sqrt{3} y + 16 = 0$ 이고 이 접선이 직선 $\displaystyle x - \sqrt{3} y + b = 0$과 일치하므로 $b = 16$ 따라서 $a + b + r$$= \left( - 4 \right) + 16 + 8$$= 20$