공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원의 교점 개수 행렬

문제

반지름의 길이가 12\displaystyle \frac{1}{2}인 44개의 원이 그림과 같이 놓여 있다. 주어진 44개의 원과 원 (x−1)2+y2=k( x - 1 ) ^{2} + y ^{2} = k (k=1,2,3,4k = 1 , 2 , 3 , 4)의 서로 다른 교점의 개수를 aka _{k}라 하자. 이 때, (a1a2a3a4)(pq)=(918)\displaystyle \begin{pmatrix} a _{1} & a _{2} \\ a _{3} & a _{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 18 \end{pmatrix}을 만족시키는 p,qp , q에 대하여 p+qp + q의 값은? [4점]

①77②88③99④1010⑤1111

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①

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해설

[출제의도] 역행렬을 이용하여 연립방정식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. (x−1)2+y2=k(k=1,2,3,4)( x - 1 ) ^{2} + y ^{2} = k ( k = 1 , 2 , 3 , 4 )인 원에서 kk의 값이 1,2,3,41 , 2 , 3 , 4일 때의 반지름의 길이는 각각 1,2,3,2\displaystyle 1 , \sqrt{2} , \sqrt{3} , 2이다. 이들 원과 주어진 44개의 원과의 교점을 세어보면

a1=3,a2=6,a3=2,a4=1a _{1} = 3 , a _{2} = 6 , a _{3} = 2 , a _{4} = 1 ∴ (pq)=(a1a2a3a4)−1(918)\displaystyle \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} = {\begin{pmatrix} a _{1} & a _{2} \\ a _{3} & a _{4} \end{pmatrix}} ^{- 1} \begin{pmatrix} 9 \\ 18 \end{pmatrix}=(3621)−1(918)\displaystyle = {\begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}} ^{-1} \begin{pmatrix} 9 \\ 18 \end{pmatrix} =−19(1−6−23)(918)=(11−4)\displaystyle = - \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 1 & - 6 \\ - 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 9 \\ 18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ - 4 \end{pmatrix} ∴ p+q=7p + q = 7

태그

#역행렬#원의 교점

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