공통수학2원의 방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

원의 두 접선과 기울기

문제

그림과 같이 한 원이 yy축과 직선 y=axy = ax에 동시에 접한다. 각각의 접점 A,B\mathrm{A} , B와 원 위의 한 점 P\mathrm{P}에 대하여 ∠APB\mathrm{\angle} APB의 크기가 π3\displaystyle \frac{\pi}{3}일 때, aa의 값은? (단, a>0a > 0) [3점]

①33\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}②12\displaystyle \frac{1}{2}③11④32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}⑤3\displaystyle \sqrt{3}

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①

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해설

[출제의도] 원의 성질 이해하기

원의 중심을 O′\mathrm{O} ^{'}라 할 때, ∠AO′B=23π\displaystyle \mathrm{\angle} AO' B = \frac{2}{3} \pi이고, ∠OAO′=∠OBO′=π2\displaystyle \mathrm{\angle} OAO {'} = \angle OBO {'} = \frac{\pi}{2}, 사각형 AOBO′\mathrm{AOBO} {'}의 내각의 합이 2π2 \pi이므로 ∠AOB=π3\displaystyle \mathrm{\angle} AOB = \frac{\pi}{3} 따라서, xx축의 양의 방향과 직선이 이루는 각은 π6\displaystyle \frac{\pi}{6}이므로 직선의 기울기 aa는 ∴ a=tan⁡π6=33\displaystyle a = \tan \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}

태그

#접선#원주각

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