원탁 접시 쿠키 확률

주사위를 $3$번 던져 첫 번째, 두 번째, 세 번째 나온 눈의 수를 각각 $a$, $b$, $c$라 하고 세 수 $a$, $b$, $c$의 순서쌍을 $( a , b , c )$라 하자. 주사위를 $3$번 던져 나오는 모든 경우의 수는 $6 ^{3} = 216$ 주어진 조건을 만족시키지 않는 경우는 빈 접시가 생기는 경우이다. (ⅰ) 빈 접시가 $1$개인 경우 예를 들어, $1$이 적혀 있는 접시가 빈 접시인 경우는 $( 3 , 3 , 5 )$, $( 3 , 5 , 5 )$, $( 3 , 4 , 5 )$ 인 각각의 순서쌍의 수를 일렬로 나열하는 것과 같으므로 $\displaystyle 2 \times \frac{3 !}{2 !} + 3 ! = 12$(가지) 같은 방법으로 빈 접시가 $2$, $3$, $4$, $5$, $6$이 적혀 있는 접시인 경우도 각각 $12$가지이다. 그러므로 $12 \times 6 = 72$ (ⅱ) 빈 접시가 $2$개인 경우 빈 접시가 $2$개인 경우는 두 접시가 이웃하는 경우이다. 예를 들어, $1$, $2$가 적혀 있는 접시가 빈 접시인 경우는 $( 4 , 4 , 5 )$, $( 4 , 5 , 5 )$ 인 각각의 순서쌍의 수를 일렬로 나열하는 것과 같으므로 $\displaystyle 2 \times \frac{3 !}{2 !} = 6$(가지) 같은 방법으로 빈 접시가 $2$, $3$과 $3$, $4$와 $4$, $5$와 $5$, $6$과 $6$, $1$이 적혀 있는 접시인 경우도 각각 $6$가지이다. 그러므로 $6 \times 6 = 36$ (ⅲ) 빈 접시가 $3$개인 경우 예를 들어, $1$, $2$, $3$이 적혀 있는 접시가 빈 접시인 경우는 $( 5 , 5 , 5 )$인 순서쌍의 수를 일렬로 나열하는 것과 같으므로 $1$가지이다. 같은 방법으로 빈 접시가 $2$, $3$, $4$와 $3$, $4$, $5$와 $4$, $5$, $6$과 $5$, $6$, $1$과 $6$, $1$, $2$가 적혀 있는 접시인 경우도 각각 $1$가지이다. 그러므로 $1 \times 6 = 6$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 빈 접시가 생기는 경우의 수는 $72 + 36 + 6 = 114$ 따라서 구하는 확률은 $\displaystyle 1 - \frac{114}{216} = \frac{17}{36}$