확률과 통계순열과 조합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원탁 배치 경우의 수

문제

여학생 33명과 남학생 66명이 원탁에 같은 간격으로 둘러앉으려고 한다. 각각의 여학생 사이에는 11명 이상의 남학생이 앉고 각각의 여학생 사이에 앉은 남학생의 수는 모두 다르다. 99명의 학생이 모두 앉는 경우의 수가 n×6!n \times 6 !일 때, 자연수 nn의 값은? (단, 회전하여 일치하는 것들은 같은 것으로 본다.) [4점] ①1010②1212③1414④1616⑤1818

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②

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해설

[출제의도] 순열의 성질과 원순열이 활용된 실생활 문제를 해결한다. 여학생 33명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 (3−1)!=2!( 3 - 1 ) ! = 2 ! 각 경우에 대하여 여학생과 여학생 사이 세 곳에 앉는 남학생의 수는 모두 달라야 하므로 각각 11명, 22명, 33명이고 이를 정하는 경우의 수는 3!3 ! 남학생을 일렬로 나열하는 경우의 수는 6!6 ! 그러므로 구하는 경우의 수는 2!×3!×6!2 ! \times 3 ! \times 6 !=12×6!= 12 \times 6 ! 따라서 n=12n = 12 [다른 풀이] 여학생 33명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 (3−1)!=2!( 3 - 1 ) ! = 2 ! 각 경우에 대하여 여학생과 여학생 사이 세 곳에 앉는 남학생의 수는 모두 다르므로 남학생 66명이 33명, 22명, 11명의 세 조로 나뉘어 여학생과 여학생 사이에 앉아야 한다. 이와 같이 남학생을 세 조로 나누는 경우의 수는 6C3×3C2×1C1=6!3!2!\displaystyle \mathrm{_{6}} \mathrm{C} _{3} \times _{3} C _{2} \times _{1} C _{1} = \frac{6 !}{3 ! 2 !} 각 경우에 대하여 세 조를 여학생과 여학생 사이의 세 곳에 배열하는 경우의 수는 3!3 ! 각 경우에 대하여 남학생끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 3!×2!×1!3 ! \times 2 ! \times 1 ! 이므로 구하는 경우의 수는 2!×6!3!2!×3!×3!×2!×1!=12×6!\displaystyle 2 ! \times \frac{6 !}{3 ! 2 !} \times 3 ! \times 3 ! \times 2 ! \times 1 ! = 12 \times 6 ! 따라서 n=12n = 12

태그

#원순열#경우의 수

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