공통수학2집합AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원소의 개수가 5인 자연수 찾기

문제

자연수 $n$ 에 대하여 집합 $A _{n}$ 을 $A _{n} = \left\{ x | x \text{는 자연수} , x ^{2} \leq n \right\}$ 이라 하자. $n ( A _{n} ) = 5$ 를 만족시키는 자연수 $n$ 의 개수를 구하시오. [4점]

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해설

자연수 $x$ 에 대하여 $x ^{2} \leq n$ 이므로 $A _{n}$ 의 원소는 $1$ 부터 차례로 나타난다. $n ( A _{n} ) = 5$ 이면 $A _{n} = \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 \right\}$ 이어야 하므로 $5 ^{2} \leq n$ 이고 $6 ^{2} > n$ 이다. 즉 $25 \leq n < 36$ 에서 $25 \leq n \leq 35$ 따라서 자연수 $n$ 은 $25 , 26 , 27 , \cdots , 35$ 의 $35 - 25 + 1 = 11$ 개이다.

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