원뿔 옆면 최단경로 합

밑면의 반지름의 길이가 $25$, 모선의 길이가 $100$인 원뿔이 있다. 자연수 $n$에 대하여 그림과 같이 모선 $\displaystyle \overline{AB}$를 $n$등분한 점 중 꼭지점 $\mathrm{A}$에 가까운 점부터 차례로 ${\mathrm{P} _{1} , P _{2} , P _{3} , \cdots , P} _{n-1}$이라 하고, 점 $\mathrm{B}$를 ${\mathrm{P}} _{n}$이라 하자. 또, 점 ${\mathrm{P}} _{k}$ ($k = 1 , 2 , 3 , \cdots , n$) 에서 원뿔의 옆면을 한 바퀴 돌아서 점 ${\mathrm{P}} _{k}$로 되돌아오는 최단 경로의 길이를 $l _{k}$라 할 때, $\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} l _{k}$라 하자. 이 때, $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{S _{n}}{n}$의 값은? [4점]

①$\displaystyle 50 \sqrt{2}$②$\displaystyle 75 \sqrt{2}$③$\displaystyle 100 \sqrt{2}$④$\displaystyle 125 \sqrt{2}$⑤$\displaystyle 150 \sqrt{2}$