원뿔 옆면 최단거리 급수

그림과 같이 점 $\mathrm{A}$를 꼭짓점으로 하고 선분 $\mathrm{BC}$를 밑면의 지름으로 하며 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 100$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = 50$인 직원뿔이 있다. 모선 $\mathrm{AC}$위의 점 $\mathrm{Q} _{1}$은 점 $\mathrm{B}$에서 원뿔의 옆면을 돌아 모선 $\mathrm{AC}$에 최단 거리로 이르는 점이고, 모선 $\mathrm{AB}$위의 점 $\mathrm{Q} _{2}$는 점 $\mathrm{Q} _{1}$에서 원뿔의 옆면을 돌아 모선 $\mathrm{AB}$에 최단 거리로 이르는 점이다. 이와 같은 방법으로 점 ${\mathrm{Q}} \mathit{_{n}}$은 모선 $\mathrm{AB}$ 또는 $\mathrm{AC}$위의 점 ${\mathrm{Q}} _{n - 1}$에서 원뿔의 옆면을 돌아 다른 모선에 최단 거리로 이르는 점이라고 하자. 점 ${{\mathrm{Q}} _{n-1}}$에서 점 ${\mathrm{Q}} _{n}$에 이르는 최단 거리를 $l _{n}$이라 할 때, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} l _{n}$의 값은 $\displaystyle a + b \sqrt{2}$이다. $a + b$의 값을 구하시오. (단, $\mathrm{B} = \mathrm{Q} \mathit{\mathrm{_{0}}}$, $a$와 $b$는 유리수이다.) [4점]