미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원뿔 내접구 부피 합

문제

그림은 밑면의 반지름의 길이가 3\displaystyle \sqrt{3}이고 밑면과 모선 사이의 각도가 60∘60 ^\circ인 직원뿔이다. 구 O1\mathrm{O} _{1}이 직원뿔에 내접하고, 구 O2\mathrm{O} _{2} 는 구 O1\mathrm{O} _{1} 에 외접하고 직원뿔의 옆면과 접한다. 이와 같은 방법으로 O3,O4,O5,⋯\mathrm{O} _{3} , O _{4} , O _{5} , \cdots를 한없이 만들어 나갈 때, 구들의 부피의 합은? [4점]

①1613π\displaystyle \frac{16}{13} \pi②1813π\displaystyle \frac{18}{13} \pi③2013π\displaystyle \frac{20}{13} \pi④2213π\displaystyle \frac{22}{13} \pi⑤2413π\displaystyle \frac{24}{13} \pi

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②

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해설

구 O1\mathrm{O} _{1}의 반지름을 r1r _{1}이라하면 △ABO1\triangle \mathrm{ABO} _{1}에서 ∠BAO1=30∘\angle \mathrm{BAO} _{1} = 30 ^\circ이므로 tan⁡30∘=r13=13\displaystyle \tan 30 ^\circ = \frac{r _{1}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} 따라서 r1=1r _{1} = 1 구 O2\mathrm{O} _{2}의 반지름을 r2r _{2}이라하면 △O2O1D\triangle \mathrm{O} _{2} O _{1} D에서 ∠O1O2D=30∘\angle \mathrm{O} _{1} O _{2} D = 30 ^\circ이므로 sin⁡30∘=1−r21+r2=12\displaystyle \sin 30 ^\circ = \frac{1 - r _{2}}{1 + r _{2}} = \frac{1}{2} 따라서 r2=13\displaystyle r _{2} = \frac{1}{3} 구V1V _{1}의 반지름 11이므로 부피는 43π\displaystyle \frac{4}{3} \pi 구V2V _{2}의 반지름 13\displaystyle \frac{1}{3}이므로 부피는 481π\displaystyle \frac{4}{81} \pi ⋯\cdots 따라서 첫째항이 43π\displaystyle \frac{4}{3} \pi이고 공비가 127\displaystyle \frac{1}{27}인 무한등비급수이므로 합은 43π1−127=1813π\displaystyle \frac{\frac{4}{3} \pi}{1 - \frac{1}{27}} = \frac{18}{13} \pi

태그

#무한등비급수#입체도형

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