미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원뿔 부피 급수

문제

한 변의 길이가 $8$ 인 정사각형 $\mathrm{D} _{1}$ 이 있다. 그림과 같이 정사각형 $\mathrm{D} _{1}$ 의 네 변에 접하며 중심각의 크기가 $\displaystyle \frac{3}{2} \pi$ 인 부채꼴로 만든 원뿔의 부피를 $V _{1}$ , 남은 정사각형 $\mathrm{D} _{2}$ 의 네 변에 접하며 중심각의 크기가 $\displaystyle \frac{3}{2} \pi$ 인 부채꼴로 만든 원뿔의 부피를 $V _{2}$ , 남은 정사각형 $\mathrm{D} _{3}$ 의 네 변에 접하며 중심각의 크기가 $\displaystyle \frac{3}{2} \pi$ 인 부채꼴로 만든 원뿔의 부피를 $V _{3}$ 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 만들어진 원뿔의 부피를 $V _{n}$ 이라 할 때, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} V _{n}$ 의 값은? (단, 부채꼴로 원뿔을 만들 때, 겹쳐지는 부분은 없도록 한다.) [4점]

$\cdots$

① $\displaystyle \frac{16 \sqrt{7}}{7} \pi$ ② $\displaystyle \frac{20 \sqrt{7}}{7} \pi$ ③ $\displaystyle \frac{24 \sqrt{7}}{7} \pi$ ④ $\displaystyle \frac{32 \sqrt{7}}{7} \pi$ ⑤ $\displaystyle \frac{36 \sqrt{7}}{7} \pi$

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③

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해설

[출제의도] 도형의 규칙성을 파악하여 무한등비급수 의 값 구하기 부채꼴의 반지름을 $R _{n}$ , 원뿔의 밑면의 반지름을 $r _{n}$ 이라 하면 $\displaystyle \frac{3}{4} \cdot 2 \pi R _{n} = 2 \pi r _{n}$ , $\displaystyle r _{n} = \frac{3}{4} R _{n}$ 원뿔의 모선이 $R _{n}$ 이므로 (높이) $\displaystyle = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} R _{n} = \frac{\sqrt{7}}{4} R _{n}$ $\displaystyle \therefore V _{n} = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{3}{4} R _{n} \right) ^{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} R _{n}$ $\displaystyle = \frac{3 \sqrt{7}}{64} R _{n} ^{3} \pi$ 한편, $\left\{ R _{n} \right\}$ 은 첫째항이 $4$ , 공비가 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 인 등비수열 $\left\{ V _{n} \right\}$ 은 첫째항이 $\displaystyle 3 \sqrt{7} \pi$ , 공비가 $\displaystyle \frac{1}{8}$ 인 등비수열 $\displaystyle \therefore \sum\limits _{n=1} ^{\infty} V _{n} = \frac{3 \sqrt{7} \pi}{1 - \frac{1}{8}} = \frac{24 \sqrt{7}}{7} \pi$

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