원판 위 깃발 놓기

[출제의도] 원순열을 활용하여 문제해결하기 문제에서 깃발을 놓는 상황은 $\mathrm{1}$부터 $\mathrm{7}$까지의 숫자 중 하나를 원의 중심에 놓고, 나머지 $\mathrm{6}$개의 숫자를 일정한 간격을 두고 원형으로 배열하는 것과 같다. 이제 원의 중심에 놓인 깃발에 적힌 수를 $c$라 하자. (ⅰ) $c = 1$인 경우 나머지 $\mathrm{6}$개의 숫자는 $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$이다. $\mathrm{6}$개의 수 중 서로 이웃하는 두 수의 합이 $\mathrm{11}$ 이하이어야 하므로 $\mathrm{7}$과 이웃하는 두 수는 $2$, $3$, $4$ 중 두 개이어야 하고, $\mathrm{7}$과 이웃하지 않는 세 수는 어떤 수이어도 조건을 만족시킨다. $2$, $3$, $4$ 중 두 개의 수를 선택하는 경우의 수는 $\mathit{_{3}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}}$ $\mathrm{7}$과 이웃하는 두 수를 $a$, $b$라 할 때, $7$, $a$, $b$를 하나로 보고 나머지 세 수와 합친 $\mathrm{4}$개의 수를 원형으로 배열하는 경우의 수는 $( 4 - 1 )$! 이 각각에 대하여 $a$, $b$가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 $\mathrm{2}$! 그러므로 구하는 경우의 수는 $\mathit{_{3}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}} \times ( 4 - 1 ) ! \times 2 ! \mathit{=} 36$ (ⅱ) $c = 2$인 경우 나머지 $\mathrm{6}$개의 숫자는 $1$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$이다. $\mathrm{6}$개의 수 중 서로 이웃하는 두 수의 합이 $\mathrm{10}$ 이하이어야 하므로 $\mathrm{7}$과 이웃하는 두 수는 $\mathrm{1}$, $\mathrm{3}$이어야 한다. 또한 $\mathrm{5}$, $\mathrm{6}$은 서로 이웃할 수 없으므로 $\mathrm{4}$는 $\mathrm{5}$와 $\mathrm{6}$ 사이에 배열되어야 한다. $\mathrm{7}$의 양 옆에 $\mathrm{1}$, $\mathrm{3}$을 배열하는 경우의 수는 $\mathrm{2}$! $\mathrm{4}$의 양 옆에 $\mathrm{5}$, $\mathrm{6}$을 배열하는 경우의 수는 $\mathrm{2}$! 그러므로 구하는 경우의 수는 $2 ! \times 2 ! \mathit{=} 4$ (ⅲ) $c = 3$인 경우 나머지 $\mathrm{6}$개의 숫자는 $1$, $2$, $4$, $5$, $6$, $7$이다. $\mathrm{6}$개의 수 중 서로 이웃하는 두 수의 합이 $\mathrm{9}$ 이하이어야 하므로 $\mathrm{7}$과 이웃하는 두 수는 $\mathrm{1}$, $\mathrm{2}$이어야 한다. 이때 $\mathrm{6}$은 $\mathrm{4}$, $\mathrm{5}$ 중 하나의 수와 반드시 이웃할 수밖에 없으므로 조건을 만족시키지 않는다. (ⅳ) $c \geq 4$인 경우 $c$를 제외한 $\mathrm{6}$개의 숫자 중 가장 큰 수를 $k$라 하면 $c + k \geq 11$이다. $k$와 이웃하는 두 수가 동시에 $\mathrm{1}$ 이하일 수 없으므로 조건을 만족시키지 않는다. (ⅰ)$\sim$(ⅳ)에 의하여 구하는 모든 경우의 수는 $36 + 4 = 40$