원판 숫자 바꾸기

[출제의도] 일차방정식을 이용하여 실생활 문제를 해결한다. $K + 2$에 $3$을 곱해서 만든 수가 여전히 네 자리의 수이므로 $a = 2$ 그러므로 $K = 2 \times 10 ^{3} + b \times 10 ^{2} + 8 \times 10 + c$이고 $M = 8 \mathrm{\square {}} 6 \mathrm{\square {}}$이다. $\left( \mathrm{i} \right)$ $c = 2$인 경우 $M = 8 {\square {}} 68$이고 $3 ( K + 2 ) = 6 \times 10 ^{3} + 3 b \times 10 ^{2} + 24 \times 10 + 12$이므로 $M \ne 3 ( K + 2 )$ $\left( \mathrm{ii} \right)$ $c = 8$인 경우 $M = 8 {\square {}} 6 6$이고 $3 ( K + 2 ) = 6 \times 10 ^{3} + 3 b \times 10 ^{2} + 24 \times 10 + 30$이므로 $M \ne 3 ( K + 2 )$ $\left( \mathrm{iii} \right)$ $c \ne 2$, $c \ne 8$인 경우 $3 ( c + 2 ) = 10 k + c$ ($k$$= 0$, $1$, $2$)에서 $2 c = 10 k - 6$이므로 $c = 7$ $K = 2 \times 10 ^{3} + b \times 10 ^{2} + 8 \times 10 + 7$에서 $3 ( K + 2 )$$= 6 \times 10 ^{3} + 3 b \times 10 ^{2} + 24 \times 10 + 27$ $= 6267 + 3 b \times 10 ^{2}$ 이고 $M = 8 {\square {}} 6 7$이다. $M = 3 \left( K + 2 \right)$가 성립하려면 $b \geq 7$이다. $b = 7$인 경우 $K = 2787$, $M = 8767$이므로 $M \ne 3 ( K + 2 )$ $b = 8$인 경우 $K = 2887$, $M = 8667$이므로 $M = 3 ( K + 2 )$가 성립하여 $b = 8$ 따라서 $a + b + c = 2 + 8 + 7$$= 17$ [다른 풀이] $3 \left( K + 2 \right)$$= 3 K + 6$$= 3 a \times 10 ^{3} + 3 b \times 10 ^{2} + 24 \times 10 + 3 c + 6$ $3 \left( K + 2 \right)$의 일의 자리의 숫자는 $3 c + 6$의 일의 자리의 숫자와 같으므로 $3 c + 6$의 일의 자리의 숫자와 $M$의 일의 자리의 숫자를 비교해 보면 다음 표에서 $c = 7$임을 알 수 있다.

$3 \left( K + 2 \right)$$= 3 a \times 10 ^{3} + 3 b \times 10 ^{2} + 24 \times 10 + 3 \times 7 + 6$ $= 3 a \times 10 ^{3} + 3 b \times 10 ^{2} + 267$ $= 3 a \times 10 ^{3} + ( 3 b + 2 ) \times 10 ^{2} + 6 \times 10 + 7$ $3 \left( K + 2 \right)$의 백의 자리의 숫자는 $3 b + 2$의 일의 자리의 숫자와 같으므로 $3 b + 2$의 일의 자리의 숫자와 $M$의 백의 자리의 숫자를 비교해 보면 다음 표에서 $b = 2$ 또는 $b = 4$ 또는 $b = 8$임을 알 수 있다.

$3 \left( K + 2 \right)$와 $M$ 모두 네 자리의 수이고 천의 자리의 숫자가 같으므로 $a = 2$이다. 이때, $b = 2$와 $b = 4$의 경우 $M \ne 3 ( K + 2 )$이고 $b = 8$인 경우 $M = 3 ( K + 2 )$이므로 $b = 8$이다. 따라서 $a + b + c = 2 + 8 + 7 = 17$ [참고] 풀이를 좀 더 상세하게 알아보자. $3 \left( K + 2 \right)$$= 3 K + 6$$= 3 a \times 10 ^{3} + 3 b \times 10 ^{2} + 24 \times 10 + 3 c + 6$ $M = 3 \left( K + 2 \right)$이므로 $3 \left( K + 2 \right)$는 네 자리의 자연수이다. 즉, $3 a$는 한 자리의 수이므로 $a = 1$ 또는 $a = 2$ 또는 $a = 3$이다. $\left( \mathrm{i} \right)$ $a = 1$인 경우 $M$의 천의 자리의 숫자가 $1$이고 $3 \left( K + 2 \right)$의 천의 자리의 숫자가 $3$ 이상이므로 $M \ne 3 \left( K + 2 \right)$ $\left( \mathrm{ii} \right)$ $a = 2$인 경우 $M$은 $K$의 각 자리의 숫자 중 $2$를 $8$로 바꾸었으므로 $M$의 천의 자리의 숫자는 $8$이고 $3 \left( K + 2 \right)$의 천의 자리의 숫자는 $6$ 이상이므로 $M = 3 \left( K + 2 \right)$가 성립할 수 있다. $\left( \mathrm{iii} \right)$ $a = 3$인 경우 $M$의 천의 자리의 숫자가 $3$이고 $3 \left( K + 2 \right)$의 천의 자리의 숫자가 $9$이므로 $M \ne 3 \left( K + 2 \right)$ $\left( \mathrm{i} \right)$, $\left( \mathrm{ii} \right)$, $\left( \mathrm{iii} \right)$에 의해 $a = 2$이다. 그러므로 $K = 2 \times 10 ^{3} + b \times 10 ^{2} + 8 \times 10 + c$ 한편 $3 \left( K + 2 \right)$의 일의 자리의 숫자는 $3 c + 6$의 일의 자리의 숫자와 같다. $\left( \mathrm{iv} \right)$ $c = 2$인 경우 $M$은 $K$의 각 자리의 숫자 중 $2$를 $8$로 바꾸었으므로 $M$의 일의 자리의 숫자는 $8$이고 $3 \left( K + 2 \right)$의 일의 자리의 숫자는 $2$이므로 $M \ne 3 \left( K + 2 \right)$ $\left( \mathrm{v} \right)$ $c = 8$인 경우 $M$은 $K$의 각 자리의 숫자 중 $8$을 $6$으로 바꾸었으므로 $M$의 일의 자리의 숫자는 $6$이고 $3 \left( K + 2 \right)$의 일의 자리의 숫자는 $0$이므로 $M \ne 3 \left( K + 2 \right)$ $\left( \right)$ $c \ne 2$, $c \ne 8$인 경우 $M$의 일의 자리의 숫자는 $c$이고 $3 \left( K + 2 \right)$의 일의 자리의 숫자는 $3 c + 6$의 일의 자리 숫자와 같으므로 $3 c + 6 = c + 10 k$ ($k$$= 0$, $1$, $2$) $2 c = \mathit{-} 6 + 10 k$ 즉, $2 c$는 $1$의 자리가 $4$인 수이다. 그러므로 $c = 2$ 또는 $c = 7$ 그런데 $c \ne 2$이므로 $c = 7$ $\left( \mathrm{iv} \right)$, $\left( \mathrm{v} \right)$, $\left( \right)$에 의해 $c = 7$ 그러므로 $K = 2 \times 10 ^{3} + b \times 10 ^{2} + 8 \times 10 + 7$ $3 \left( K + 2 \right) = 6 \times 10 ^{3} + 3 b \times 10 ^{2} + 24 \times 10 + 27$ $M = 8 \times 10 ^{3} + b' \times 10 ^{2} + 6 \times 10 + 7$ (단, $b = 2$인 경우 $b' = 8$, $b = 8$인 경우 $b' = 6$, $b \ne 2$, $b \ne 8$인 경우 $b = b'$) $M = 3 \left( K + 2 \right)$이므로 $8 \times 10 ^{3} + b' \times 10 ^{2} + 6 \times 10 + 7$ $= 6 \times 10 ^{3} + 3 b \times 10 ^{2} + 24 \times 10 + 27$ $8067 + b' \times 10 ^{2} = 6267 + 3 b \times 10 ^{2}$ $1800 + b' \times 10 ^{2} = 3 b \times 10 ^{2}$ $18 + b' = 3 b$ $\left( \right)$ $b = 2$인 경우 $b' = 8$이므로 $18 + b' \ne 3 b$ $\left( \right)$ $b = 8$인 경우 $b' = 6$이므로 $18 + b' = 3 b$가 성립한다. $\left( \right)$ $b \ne 2$, $b \ne 8$인 경우 $b = b'$이고 $b$는 $1$ 이상 $8$ 이하의 자연수이므로 $18 + b = 3 b$을 만족하는 $b$는 존재하지 않는다. $\left( \right)$, $\left( \right)$, $\left( \right)$에 의해 $b = 8$ $a = 2$, $b = 8$, $c = 7$이므로 $a + b + c = 2 + 8 + 7 = 17$