원판 쌓기 경우의 수

[출제의도] 같은 것이 있는 순열을 이용하여 경우의 수를 구하는 문제를 해결한다. (ⅰ) $4$개의 원판에 적힌 문자가 $\mathrm{XXYY}$ 꼴인 경우 $4$개의 문자 중 $\mathrm{X}$, $\mathrm{Y}$에 해당하는 문자를 선택하는 경우의 수는 ${} _{4} \mathrm{C} _{2}$$= 6$ $4$개의 원판을 쌓는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{4 !}{2 ! \times 2 !}$$= 6$ 그러므로 구하는 경우의 수는 $6 \times 6$$= 36$ (ⅱ) $4$개의 원판에 적힌 문자가 $\mathrm{XXYZ}$ 꼴인 경우 $4$개의 문자 중 $\mathrm{X}$에 해당하는 문자를 선택하는 경우의 수는 ${} _{4} \mathrm{C} _{1}$$= 4$ $\mathrm{Y}$, $\mathrm{Z}$에 해당하는 문자를 선택하는 경우의 수는 ${} _{3} \mathrm{C} _{2}$$= 3$ $\mathrm{Y}$, $\mathrm{Z}$에 해당하는 원판의 색을 정하는 경우의 수는 $\displaystyle {} _{2} \prod _{2}$$= 4$ $4$개의 원판을 쌓는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{4 !}{2 !}$$= 12$ 그러므로 구하는 경우의 수는 $4 \times 3 \times 4 \times 12$$= 576$ (ⅲ) $4$개의 원판에 적힌 문자가 모두 다른 경우 각각의 원판의 색을 정하는 경우의 수는 $\displaystyle {} _{2} \prod _{4}$$= 16$ $\mathrm{D}$가 적힌 원판이 맨 아래에 놓이도록 $4$개의 원판을 쌓는 경우의 수는 $3 !$$= 6$ 그러므로 구하는 경우의 수는 $16 \times 6$$= 96$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 경우의 수는 $36 + 576 + 96$$= 708$