공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원판 로그 행렬

문제

그림과 같이 두 선분에 의해 44등분된 원판 위에 시계 반대방향으로 숫자 22,44,88,1616이 쓰여져 있다. 원판이 원점을 중심으로 회전하여 정지한 후, 원판의 제22사분면의 위치에 있는 수를 mm, 제ii사분면의 위치에 있는 수를 aia _{i}(i=1i = 1,22,33,44)라 할 때, 이에 대응되는 행렬을

(log⁡ma2log⁡ma1log⁡ma3log⁡ma4)\displaystyle \begin{pmatrix} \log _{m} a _{2} & \log _{m} a _{1} \\ \log _{m} a _{3} & \log _{m} a _{4} \end{pmatrix} 라 하자. 예를 들면, 제22사분면의 위치에 있는 수가 22일 때 대응되는 행렬은 (log⁡22log⁡216log⁡24log⁡28)\displaystyle \begin{pmatrix} \log _{2} 2 & \log _{2} 16 \\ \log _{2} 4 & \log _{2} 8 \end{pmatrix}이다. 제22사분면의 위치에 있는 수가 22, 1616일 때, 대응되는 행렬을 각각 AA,BB라 하자. 이 때, 행렬ABA B의 모든 성분의 합은? (단, 원판이 정지할 때 원판에 그려진 두 선분은 반드시 좌표축 위에 놓여진다.) [4점] ①99②192\displaystyle \frac{19}{2}③1010④212\displaystyle \frac{21}{2}⑤1111

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④

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해설

[출제의도] 로그의 성질을 알고 행렬의 곱셈을 할 수 있다. 22사분면의 위치에 있는 수가 22와 1616일 때 대응되는 행렬을 각각 A,BA , B라 하면 A=(log⁡22log⁡216log⁡24log⁡28)=(1423)\displaystyle A = \begin{pmatrix} \log _{2} 2 & \log _{2} 16 \\ \log _{2} 4 & \log _{2} 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} B=(log⁡1616log⁡168log⁡162log⁡164)=(1341412)\displaystyle B = \begin{pmatrix} \log _{16} 16 & \log _{16} 8 \\ \log _{16} 2 & \log _{16} 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} 따라서, 행렬AB=(21141143)\displaystyle AB = \begin{pmatrix} 2 & \frac{11}{4} \\ \frac{11}{4} & 3 \end{pmatrix}의 모든 성분의 합은 212\displaystyle \frac{21}{2}이다.

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#로그#행렬곱

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