대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원판 높이 등차수열

문제

높이가 서로 같은 원판을 나무통 위에 올려 놓으려고 한다. 그림과 같이 원판을 11개 올려 놓았을 때의 전체 높이를 h1h _{1}, 22개 올려 놓았을 때의 전체 높이를 h2h _{2}, 33개 올려 놓았을 때의 전체 높이를 h3h _{3}이라 하자. 이와 같은 방법으로 nn개 올려 놓았을 때의 전체 높이를 hnh _{n}이라 하자. h15=6h _{15} = 6일 때, h5+h13+h17+h25h _{5} + h _{13} + h _{17} + h _{25}의 값을 구하시오. [4점]

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24

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해설

[출제의도] 등차중항을 이용하여 등차수열의 합을 구한다. 처음 나무통의 높이를 aa, 원판 11개의 높이를 hh라 하면 {hn}\left\{ h _{n} \right\}은 첫째항이 a+ha + h, 공차가 hh인 등차수열이므로 hn=a+h+(n−1)h=a+nhh _{n} = a + h + ( n - 1 ) h = a + nh h5+h13+h17+h25h _{5} + h _{13} + h _{17} + h _{25} =(a+5h)+(a+13h)+(a+17h)+(a+25h)= ( a + 5 h ) + ( a + 13 h ) + ( a + 17 h ) + ( a + 25 h ) =4a+60h= 4 a + 60 h =4(a+15h)= 4 ( a + 15 h ) =4h15= 4 h _{15} h15=6h _{15} = 6이므로 구하는 값은 4×6=244 \times 6 = 24 [다른풀이] {hn}\left\{ h _{n} \right\}이 등차수열이므로 세 수 h15−kh _{15-k}, h15h _{15}, h15+kh _{15+k}도 등차수열을 이룬다. (1≤k≤141 \leq k \leq 14) h15h _{15}가 등차중항이므로 h15−k+h15+k=2h15h _{15-k} + h _{15+k} = 2 h _{15} h5+h25=h13+h17=2h15h _{5} + h _{25} = h _{13} + h _{17} = 2 h _{15} 따라서 구하는 값은 4h15=4×6=244 h _{15} = 4 \times 6 = 24

태그

#등차중항

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