대수삼각함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

원주각 사인 값

문제

그림과 같이 중심이 OO인 원 위에 세 점 AA, BB, CC가 있다. AC‾=4\displaystyle \overline{AC} = 4, BC‾=3\displaystyle \overline{BC} = 3이고 삼각형 ABCABC의 넓이가 22이다. ∠AOB=θ\angle AOB = \theta일 때, sin⁡θ\sin \theta의 값은? (단, 0<θ<π0 < \theta < \pi) [3점]

①229\displaystyle \frac{2 \sqrt{2}}{9}②5218\displaystyle \frac{5 \sqrt{2}}{18}③23\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}④7218\displaystyle \frac{7 \sqrt{2}}{18}⑤429\displaystyle \frac{4 \sqrt{2}}{9}

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⑤

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해설

원주각 =12×\displaystyle = \frac{1}{2} \times 중심각 이므로 ∠ACB=θ2\displaystyle \angle ACB = \frac{\theta}{2} 12⋅4⋅3⋅sin⁡θ2=2\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot \sin \frac{\theta}{2} = 2에서 sin⁡θ2=13\displaystyle \sin \frac{\theta}{2} = \frac{1}{3}이고 0<θ2<π2\displaystyle 0 < \frac{\theta}{2} < \frac{\pi}{2}이므로 cos⁡θ2=223\displaystyle \cos \frac{\theta}{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} 따라서 sin⁡θ=2sin⁡θ2cos⁡θ2=429\displaystyle \sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} = \frac{4 \sqrt{2}}{9}

태그

#삼각형 넓이#원주각

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