원점과의 거리가 1인 직선이 지나지 않는 영역

주어진 직선과 원점사이의 수직거리 $d$는 $\displaystyle d = \frac{| - 1 |}{\sqrt{\sin ^{2} \alpha + \cos ^{2} \alpha}} = 1$ 즉, 직선위의 점 $( x , y )$와 원점사이의 거리는 항상 $1$보다 크거나 같다. Ⅰ) $| x + y | < 1$ ⅰ) $x + y > 0$일 때, $x + y < 1$ ⅱ) $x + y < 0$일 때, $x + y > - 1$

Ⅱ) $| x | + | y | < 1$ ⅰ) $x \geq 0 , y \geq 0$일 때 : $x + y < 1$ ⅱ) $x \geq 0 , y < 0$일 때 : $x - y < 1$ ⅲ) $x < 0 , y \geq 0$일 때 : $- x + y < 1$ ⅳ) $x < 0 , y < 0$일 때 : $- x - y < 1$

Ⅲ) $x ^{2} + y ^{2} < 1$ : 중심이 원점이고 반지름이 $1$인 원의 내부

Ⅳ) $| x y | < 1$ ⅰ) $xy > 0$일 때 : $xy < 1$ $x > 0$인 경우에는 $\displaystyle y < \frac{1}{x}$, $x < 0$인 경우에는 $\displaystyle y > \frac{1}{x}$ ⅱ) $xy < 0$일 때 : $xy > - 1$ $x > 0$인 경우에는 $\displaystyle y > - \frac{1}{x}$, $x < 0$인 경우에 $\displaystyle y < - \frac{1}{x}$ (그림에서 $x , y$축은 포함되지 않는다.)

따라서 Ⅱ, Ⅲ의 영역은 지날 수 없다.