원점을 지나는 접선의 기울기 함수

접점의 좌표를 $\left( g \left( t \right) , e ^{- g \left( t \right)} + e ^{t} \right)$라 하자. $\displaystyle y = \frac{1}{e ^{x}} + e ^{t}$에서 $\displaystyle \frac{dy}{dx} = - e ^{-x}$이므로 $f \left( t \right) = - e ^{- g \left( t \right)}$, $f' \left( t \right) = g' \left( t \right) e ^{- g \left( t \right)}$ $\displaystyle f \left( a \right) = - e ^{\frac{3}{2}}$에서 $\displaystyle g \left( a \right) = - \frac{3}{2}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 이때 접선의 방정식은 $y = - e ^{- g \left( t \right)} \left( x - g \left( t \right) \right) + e ^{- g \left( t \right)} + e ^{t}$ 에서 이 직선이 원점을 지나므로 $e ^{- g \left( t \right)} g \left( t \right) + e ^{- g \left( t \right)} + e ^{t} = 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 이 식에 $t = a$를 대입하면 $\displaystyle e ^{\frac{3}{2}} \times \left( - \frac{3}{2} \right) + e ^{\frac{3}{2}} + e ^{a} = 0$, $\displaystyle e ^{a} = \frac{1}{2} e ^{\frac{3}{2}}$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ 또 ㉡의 양변을 $t$에 대하여 미분하면 $- g' \left( t \right) e ^{- g \left( t \right)} g \left( t \right) + e ^{- g \left( t \right)} g' \left( t \right) - g' \left( t \right) e ^{- g \left( t \right)} + e ^{t} = 0$ $g' \left( t \right) e ^{- g \left( t \right)} g \left( t \right) = e ^{t}$ 이 식에 $t = a$를 대입하면 ㉠, ㉢에 의하여 $\displaystyle g' \left( a \right) e ^{\frac{3}{2}} \times \left( - \frac{3}{2} \right) = e ^{a}$, $\displaystyle g' \left( a \right) = - \frac{1}{3}$ $\therefore$ $f' \left( a \right)$$= g' \left( a \right) \times e ^{- g \left( a \right)}$$\displaystyle = \left( - \frac{1}{3} \right) \times e ^{\frac{3}{2}}$$\displaystyle = - \frac{1}{3} e \sqrt{e}$